Tikimybių teorija

Tikimybių teorija

Pagrindinės sąvokos

Bandymas (eksperimentas) – veiksmas, kurio rezultatas iš anksto nežinomas (pvz., monetos metimas, kauliuko metimas).

Imties erdvė $\Omega$ – visų galimų bandymo rezultatų (elementariųjų įvykių) aibė.

Įvykis $A$ – imties erdvės poaibis, t. y. tam tikrų rezultatų rinkinys.

Pavyzdys 1: Metamas standartinis kauliukas.

• $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• Įvykis „iškrito lyginis skaičius": $A = \{2, 4, 6\}$
• Įvykis „iškrito skaičius, didesnis nei 4": $B = \{5, 6\}$

Įvykių tipai

---

Klasikinė tikimybė

Jei visi elementarieji įvykiai yra vienodai galimi, tai įvykio $A$ tikimybė:

$P(A) = \frac{m}{n}$

kur $m$ – palankių rezultatų skaičius (įvykio $A$ elementai), $n$ – visų galimų rezultatų skaičius ($|\Omega|$).

Savybės:

• $0 \leq P(A) \leq 1$
• $P(\Omega) = 1$ (būtinas įvykis)
• $P(\emptyset) = 0$ (negalimas įvykis)

Pavyzdys 2: Metamas kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris skaičius, didesnis nei 4?

$P(A) = \frac{|\{5, 6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Pavyzdys 3: Maišelyje 4 raudoni ir 6 mėlyni kamuoliukai. Atsitiktinai traukiamas vienas. Kokia tikimybė, kad jis bus raudonas?

$P(\text{raudonas}) = \frac{4}{4 + 6} = \frac{4}{10} = 0{,}4$

---

Priešingo įvykio tikimybė

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Kartais lengviau apskaičiuoti priešingo įvykio tikimybę ir atimti iš 1.

Pavyzdys 4: Metami du kauliukai. Kokia tikimybė, kad bent vienu kauliuku iškris 6?

Priešingas įvykis: nė vienu kauliuku neiškris 6.

$P(\text{ne 6 pirmu}) = \frac{5}{6}, \quad P(\text{ne 6 antru}) = \frac{5}{6}$

$P(\bar{A}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}306$

---

Nesuderinamų įvykių sudėties taisyklė

Jei įvykiai $A$ ir $B$ yra nesuderinami (negali įvykti vienu metu):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Pavyzdys 5: Metamas kauliukas. Kokia tikimybė, kad iškris 2 arba 5?

$P(2 \cup 5) = P(2) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

---

Suderinamų įvykių sudėties taisyklė

Jei įvykiai $A$ ir $B$ gali įvykti kartu:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Pavyzdys 6: Iš 52 kortų kaladės traukiama viena korta. Kokia tikimybė, kad ji bus širdis arba dama?

• $P(\text{širdis}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• $P(\text{dama}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
• $P(\text{širdžių dama}) = \frac{1}{52}$

$P(\text{širdis} \cup \text{dama}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

---

Nepriklausomi įvykiai

Įvykiai $A$ ir $B$ yra nepriklausomi, jei vieno įvykimas nepakeičia kito tikimybės.

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Pavyzdys 7: Metama moneta ir kauliukas. Kokia tikimybė, kad moneta iškris herbas ir kauliukas parodys 6?

$P(\text{herbas} \cap 6) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

Pavyzdys 8: Šaulys pataiko į taikinį su tikimybe 0,8. Šauna du kartus (nepriklausomai). Kokia tikimybė, kad pataikys abu kartus?

$P(\text{abu}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$

Kokia tikimybė, kad pataikys bent vieną kartą?

$P(\text{bent 1}) = 1 - P(\text{nė karto}) = 1 - 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$

---

Sąlyginė tikimybė

Sąlyginė tikimybė – tai tikimybė, kad įvyks įvykis $A$, žinant, kad jau įvyko įvykis $B$.

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Iš čia taip pat gauname daugybos taisyklę:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Pavyzdys 9: Dėžėje 5 raudoni ir 3 mėlyni kamuoliukai. Traukiami 2 kamuoliukai be grąžinimo. Kokia tikimybė, kad abu bus raudoni?

• Pirmas raudonas: $P(R_1) = \frac{5}{8}$
• Antras raudonas, jei pirmas buvo raudonas: $P(R_2|R_1) = \frac{4}{7}$

$P(R_1 \cap R_2) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357$

Pavyzdys 10: Iš 30 klasės mokinių 18 moka anglų kalbą, 12 moka vokiečių kalbą, 8 moka abi kalbas. Atsitiktinai pasirinktas mokinys moka anglų kalbą. Kokia tikimybė, kad jis moka ir vokiečių?

$P(\text{vokiečių}|\text{anglų}) = \frac{P(\text{vokiečių} \cap \text{anglų})}{P(\text{anglų})} = \frac{8/30}{18/30} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444$

---

Kombinatorika tikimybėse

Dažnai tikimybių uždaviniuose reikia suskaičiuoti palankius ir visus variantus naudojant derinius ir gretinius.

Pavyzdys 11: Loterijoje iš 45 skaičių reikia atspėti 6. Kokia tikimybė laimėti didįjį prizą (atspėti visus 6)?

$P = \frac{C_6^6}{C_{45}^6} = \frac{1}{C_{45}^6} = \frac{1}{\frac{45!}{6! \cdot 39!}} = \frac{1}{8\,145\,060}$

Pavyzdys 12: Iš 10 gamybos detalių 3 yra brokas. Atsitiktinai paimamos 2. Kokia tikimybė, kad abi bus geros?

• Palankūs atvejai: $C_7^2 = 21$ (pasirenkame 2 iš 7 gerų)
• Visi atvejai: $C_{10}^2 = 45$

$P = \frac{C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} \approx 0{,}467$

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Metamas kauliukas. Raskite tikimybę, kad iškris: a) skaičius 4; b) nelyginis skaičius; c) skaičius, didesnis nei 2.

2. Maišelyje 6 balti ir 4 juodi kamuoliukai. Atsitiktinai traukiamas vienas. Kokia tikimybė, kad jis bus juodas?

3. Metami du kauliukai. Kokia tikimybė, kad iškritusių skaičių suma lygi 7?

4. Iš 52 kortų kaladės traukiama viena korta. Kokia tikimybė, kad ji bus tūzas arba karalius?

5. Du šauliai šauna po vieną kartą. Pirmo pataikymo tikimybė 0,7, antro – 0,8. Įvykiai nepriklausomi. Kokia tikimybė, kad: a) abu pataikys; b) bent vienas pataikys; c) nė vienas nepataikys?

6. Dėžėje 12 detalių, iš jų 4 su defektais. Atsitiktinai paimamos 3 detalės. Kokia tikimybė, kad visos bus be defektų?

7. Grupėje 20 studentų, iš jų 8 merginos. Atsitiktinai pasirinkti 3 studentai. Kokia tikimybė, kad visos bus merginos?

8. Maišelyje 5 raudoni ir 4 žali kamuoliukai. Traukiami 2 kamuoliukai be grąžinimo. Kokia tikimybė, kad abu bus skirtingų spalvų?

9. Klasėje 25 mokiniai. Iš jų 15 lanko krepšinį, 10 lanko futbolą, 5 lanko abi sekcijas. Atsitiktinai pasirinktas mokinys lanko krepšinį. Kokia tikimybė, kad jis lanko ir futbolą?

10. Egzamine 20 bilietų. Mokinys pasiruošė 15 bilietų. Jis traukia 2 bilietus (po vieną, be grąžinimo). Kokia tikimybė, kad abu bus iš pasiruoštų?