Aritmetinė ir geometrinė progresijos

Aritmetinė ir geometrinė progresijos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Aritmetinė ir geometrinė progresijos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Aritmetinėje progresijoje gretimų narių skirtumas yra pastovus skaičius $d$. Jos bendrasis narys gaunamas prie pirmojo nario pridėjus $n-1$ skirtumų. Pirmųjų $n$ narių suma lygi narių skaičiaus ir pirmojo bei paskutinio narių vidurkio sandaugai.

Geometrinėje progresijoje kiekvienas kitas narys gaunamas ankstesnį dauginant iš pastovaus vardiklio $q$. Jei $|q|<1$, narių moduliai mažėja. Teigiamas $q$ išlaiko ženklą, neigiamas – kaitalioja ženklus.

Pastovus absoliutus pokytis rodo aritmetinį, o pastovus santykinis pokytis – geometrinį modelį. Taupymo vienodomis įmokomis uždavinys gali būti aritmetinis, o sudėtinių palūkanų ar gyventojų procentinio augimo modelis – geometrinis.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$a_n=a_1+(n-1)d$$ $$S_n=n(a_1+a_n)/2$$ $$b_n=b_1q^{n-1}$$ $$S_n=b_1(q^n-1)/(q-1),\ q\ne1$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Geometrinės progresijos $b_1=200$, $q=1{,}05$. Raskite penktą narį ir pirmųjų penkių narių sumą.

1. $b_5=200\cdot1{,}05^4\approx243{,}10$.
2. $S_5=200(1{,}05^5-1)/(1{,}05-1)$.
3. Apskaičiavę gauname $S_5\approx1105{,}13$.

Atsakymas. $b_5\approx243{,}10$, $S_5\approx1105{,}13$.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Bendrojo nario formulėje naudoti $n$, o ne $n-1$ žingsnių.
• Geometrinės progresijos vardiklį rasti atimant narius.
• Sumos formulėje pamesti sąlygą $q\ne1$.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Sekai 4, 9, 14, ... raskite $d$ ir $a_{20}$.
2. Raskite pirmųjų 10 sekos 3, 6, 9, ... narių sumą.
3. Sekai 2, 6, 18, ... raskite $q$ ir $b_6$.
4. Ar seka 5, −10, 20, −40 yra geometrinė?
5. Kuris modelis tinka kasmetiniam 4 % augimui?
6. Kuris modelis tinka kas mėnesį pridedant po 20 €?
7. Raskite $n$, jei $a_1=7$, $d=3$, $a_n=40$.
8. Raskite baigtinę sumą $1+1/2+1/4+1/8$.

Atsakymai savitikrai

1. $d=5$, $a_{20}=99$.
3. $q=3$, $b_6=486$.
4. Taip, $q=-2$.
5. Geometrinė progresija su $q=1{,}04$.
6. Aritmetinė progresija su $d=20$.
7. $n=12$.
8. $15/8$.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Aritmetinė ir geometrinė progresijos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.