Logaritmai ir vienetinis apskritimas

Logaritmai ir vienetinis apskritimas

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Logaritmai ir vienetinis apskritimas“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Logaritmas atsako į klausimą, kokiu laipsniu reikia pakelti pagrindą, kad gautume duotą skaičių. Reiškinyje $\log_a b$ būtina $a>0$, $a\ne1$ ir $b>0$. Daugybos logaritmas virsta suma, dalmens – skirtumu, o laipsnio rodiklis gali būti iškeltas prieš logaritmą.

Vienetiniame apskritime kampą atitinkantis taškas turi koordinates $(\cos\alpha;\sin\alpha)$. Kosinusas yra horizontalioji, sinusas – vertikalioji koordinatė. Tangentas lygus jų santykiui ten, kur kosinusas nelygus nuliui.

Kampai gali būti didesni nei 360° arba neigiami. Periodiškumas leidžia pridėti ar atimti pilną apsisukimą. Ketvirtis nustato sinuso ir kosinuso ženklus, o atraminis kampas padeda naudoti žinomas 30°, 45° ir 60° reikšmes.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Apskaičiuokite $\log_2 32-\log_2 4$ ir raskite $\sin150^\circ$.

1. $\log_2 32=5$, nes $2^5=32$; $\log_2 4=2$.
2. Logaritmų skirtumas lygus 3.
3. $150^\circ$ yra II ketvirtyje, jo atraminis kampas 30°.
4. II ketvirtyje sinusas teigiamas, todėl $\sin150^\circ=1/2$.

Atsakymas. Atsakymai: 3 ir $1/2$.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Leisti neigiamą logaritmo argumentą arba pagrindą 1.
• Manyti, kad $\log(x+y)=\log x+\log y$.
• Vienetiniame apskritime sukeisti sinuso ir kosinuso koordinates.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Apskaičiuokite $\log_3 81$.
2. Apskaičiuokite $\log_{10}0{,}01$.
3. Sujunkite $\log_2x+\log_2y$.
4. Kokia $\log_5(x-2)$ apibrėžimo sritis?
5. Raskite $\cos180^\circ$.
6. Raskite $\sin270^\circ$.
7. Raskite $\tan45^\circ$.
8. Sumažinkite kampą 750° iki intervalo $[0^\circ;360^\circ)$.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Logaritmai ir vienetinis apskritimas. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.