Tiesės, plokštumos, kampai ir atstumai erdvėje

Tiesės, plokštumos, kampai ir atstumai erdvėje

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Tiesės, plokštumos, kampai ir atstumai erdvėje“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Stereometrijoje tarpusavio padėtis nustatoma ne pagal piešinio vaizdą, o pagal apibrėžimus. Prasilenkiančios tiesės nepriklauso vienai plokštumai. Tiesės statmenumui plokštumai pakanka statmenumo dviem susikertančioms tos plokštumos tiesėms.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp tiesės ir jos ortogonaliosios projekcijos. Dvisienio kampo didumas matuojamas kampu tarp dviejų tiesių, statmenų plokštumų sankirtos tiesei ir esančių atitinkamose plokštumose.

Atstumai randami statmenomis atkarpomis. Koordinatėmis plokštuma gali būti užrašyta $Ax+By+Cz+D=0$, jos normalės vektorius yra $(A;B;C)$. Tai leidžia tikrinti lygiagretumą ir skaičiuoti atstumą nuo taško.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Raskite atstumą nuo taško $P(1;2;3)$ iki plokštumos $2x-y+2z-4=0$.

1. Į skaitiklį įstatome taško koordinates: $|2\cdot1-2+2\cdot3-4|=|2|=2$.
2. Normalės ilgis: $\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3$.
3. Atstumas $d=2/3$.

Atsakymas. $d=2/3$.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Prasilenkiančias tieses laikyti lygiagrečiomis vien todėl, kad jos nesikerta.
• Kampą su plokštuma matuoti ne su ortogonaliąja projekcija.
• Atstumo formulės skaitiklyje nenaudoti modulio.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Koks plokštumos $x+2y-3z+5=0$ normalės vektorius?
2. Ar tiesė krypties vektoriumi $(1;0;0)$ lygiagreti plokštumai $y=2$?
3. Raskite atstumą nuo $(0;0;0)$ iki plokštumos $z=7$.
4. Koks kampas tarp tiesės, statmenos plokštumai, ir plokštumos?
5. Ar dvi statmenos tai pačiai plokštumai tiesės lygiagrečios?
6. Stačiosios prizmės įstrižainė 10, aukštis 6. Raskite projekciją pagrinde.
7. Įvardykite dvisienio kampo briauną.
8. Kada dvi plokštumos yra lygiagrečios pagal normales?

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Tiesės, plokštumos, kampai ir atstumai erdvėje. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.