Išvestinės samprata ir skaičiavimo taisyklės

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

paaiškinti temą „Išvestinės samprata ir skaičiavimo taisyklės“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Vidutinis funkcijos kitimo greitis intervale yra reikšmių pokyčio ir argumento pokyčio santykis. Kai intervalo ilgis artėja prie nulio, šio santykio riba, jei egzistuoja, vadinama išvestine taške. Geometriškai ji yra grafiko liestinės nuolydis.

Išvestinės ženklas aprašo vietinį kitimą: teigiama išvestinė reiškia didėjimą, neigiama – mažėjimą, o nulinė gali žymėti ekstremumą arba horizontalią liestinės padėtį. Vieneto prasme išvestinė yra rezultato vienetai vienam argumento vienetui.

Skaičiuojant naudojamos sumos, pastovaus daugiklio, sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos taisyklės. Prieš diferencijuojant reiškinį verta supaprastinti ir aiškiai matyti, kuri taisyklė reikalinga.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

f'(x_0)=\lim_{h\to0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h

(x^n)'=nx^{n-1}

(cf)'=cf'

(f+g)'=f'+g'

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Funkcijai $f(x)=x^2-4x+1$ raskite išvestinę ir liestinės nuolydį taške $x=3$ .

Diferencijuojame po narius: $(x^2)'=2x$ , $(-4x)'=-4$ , $1'=0$ .
Taigi $f'(x)=2x-4$ .
Įstatome $x=3$ : $f'(3)=6-4=2$ .

Atsakymas. $f'(x)=2x-4$ , liestinės nuolydis taške $x=3$ yra 2.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

Pastoviosios funkcijos išvestinę palikti lygią tai pačiai konstantai.
Laipsnio taisyklėje sumažinti rodiklį, bet nepadauginti iš senojo rodiklio.
Išvestinės reikšmę taške painioti su pačios funkcijos reikšme.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

Raskite $f(x)=x^5$ išvestinę.
Raskite $f(x)=3x^2-7x+4$ išvestinę.
Raskite $f(x)=1/x$ išvestinę.
Jei $f'(2)=-3$ , kaip interpretuojamas ženklas?
Raskite $s(t)=4t^2$ momentinį greitį, kai $t=3$ .
Kokia $f(x)=8$ išvestinė?
Raskite $(\sqrt{x})'$ , kai $x>0$ .
Kokie yra $f'$ vienetai, jei $f$ matuojama metrais, o $t$ sekundėmis?

Atsakymai savitikrai

$5x^4$ .
$6x-7$ .
$-1/x^2$ .
Ties $x=2$ funkcija lokaliai mažėja; liestinės nuolydis −3.
$v(3)=8\cdot3=24$ .
$1/(2\sqrt{x})$ .
Metrai per sekundę.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Išvestinės samprata ir skaičiavimo taisyklės. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.