Tikimybių medžiai ir sąlyginė tikimybė

Tikimybių medžiai ir sąlyginė tikimybė

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Tikimybių medžiai ir sąlyginė tikimybė“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Tikimybių medis vaizduoja nuoseklius bandymo etapus. Kiekviename mazge išeinančių šakų tikimybės turi sudaryti 1. Vieno kelio tikimybė gaunama dauginant jo šakų tikimybes, o kelių nesikertančių kelių tikimybės sudedamos.

Sąlyginė tikimybė $P(A|B)$ nusako įvykio $A$ tikimybę žinant, kad $B$ jau įvyko. Įvykiai nepriklausomi, jei ši papildoma informacija nekeičia tikimybės. Traukiant be grąžinimo šakų tikimybės keičiasi, todėl bandymai priklausomi.

Atvirkštiniam klausimui, pavyzdžiui, kokia grupės tikimybė gavus teigiamą rezultatą, reikia skaičiuoti bendrą dominančio kelio tikimybę ir dalyti iš visų kelių, kurie duoda stebėtą rezultatą. Bazinis grupės dažnis gali stipriai paveikti atsakymą.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Dėžėje 3 raudoni ir 2 mėlyni rutuliai. Du traukiami be grąžinimo. Raskite tikimybę ištraukti skirtingų spalvų rutulius.

1. Kelias R–M: $3/5\cdot2/4=3/10$.
2. Kelias M–R: $2/5\cdot3/4=3/10$.
3. Keliai nesikerta, todėl tikimybes sudedame.

Atsakymas. $3/10+3/10=3/5$.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Be grąžinimo antrojo traukimo vardiklį palikti tokį patį.
• Vieno kelio šakų tikimybes sudėti vietoje daugybos.
• Sukeisti $P(A|B)$ ir $P(B|A)$.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Moneta metama du kartus. Kokia tikimybė gauti dvi herbo puses?
2. Kokia tikimybė gauti bent vieną herbą per du metimus?
3. Dėžėje 4 balti, 1 juodas. Kokia pirmo balto tikimybė?
4. Po balto ištraukimo be grąžinimo kokia antro balto tikimybė?
5. Jei $P(A\cap B)=0{,}2$, $P(B)=0{,}5$, raskite $P(A|B)$.
6. Kada $A$ ir $B$ nepriklausomi?
7. Ką turi sudaryti visų iš vieno medžio mazgo išeinančių šakų tikimybės?
8. Kodėl retai ligai net geras testas gali duoti daug klaidingai teigiamų rezultatų?

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Tikimybių medžiai ir sąlyginė tikimybė. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.