Mechaninis darbas ir galia

Mokymosi tikslai

Apskaičiuoti pastovios jėgos atliekamą darbą.
Nustatyti darbo ženklą pagal jėgos ir poslinkio kryptis.
Rasti kintamos jėgos darbą iš $F_x(x)$ grafiko ploto.
Skirti vidutinę ir momentinę galią.
Vertinti darbo bei galios formulių taikymo ribas.

Prisimink

Kasdienė „pastangų“ reikšmė nėra mechaninio darbo apibrėžimas. Jei jėgos veikiamo taško poslinkio nėra, tos jėgos mechaninis darbas lygus nuliui, nors žmogus gali eikvoti cheminę energiją.

Sąvokos ir simboliai

Mechaninis darbas $W$ – energijos perdavimas jėgai veikiant per poslinkį, SI vienetas džaulis (J).
Galia $P$ – darbo atlikimo arba energijos perdavimo sparta, SI vienetas vatas (W).
$\alpha$ – kampas tarp jėgos ir poslinkio vektorių.
$F_x$ – jėgos dedamoji poslinkio kryptimi.
Teigiamas darbas – jėga didina kūno kinetinę energiją, jei kitų darbų suma to neužgožia.
Neigiamas darbas – jėgos dedamoji nukreipta prieš poslinkį.

Teorija: mechaninis darbas

Pastoviai jėgai ir tiesiam poslinkiui:

$W=\vec F\cdot\Delta\vec r=F\Delta r\cos\alpha.$

Jei $\alpha=0^\circ$ , darbas $W=F\Delta r$ ; jei $90^\circ$ , darbas nulis; jei kampas bukas, darbas neigiamas.

Kintamai jėgai darbas yra

$W=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,dx.$

Mokykliniame grafike tai pasirašytas plotas tarp $F_x(x)$ kreivės ir $x$ ašies. Plotas žemiau ašies neigiamas.

Jėgos dedamosios F x priklausomybės nuo koordinatės x grafikas: nuo nulio iki dviejų metrų jėga tiesiškai padidėja iki šešių niutonų, nuo dviejų iki penkių metrų lieka pastovi; trikampio ir stačiakampio plotai pažymėti kaip atlikto darbo dalys

Formulės ir SI: galia

Vidutinė galia:

$P_{\text{vid}}=\frac{W}{\Delta t}.$

Momentinė mechaninė galia:

$P=\vec F\cdot\vec v=Fv\cos\alpha.$

Pastaroji formulė taikoma jėgos veikimo taško momentiniam greičiui. Vienodas atliktas darbas nereiškia vienodos galios: svarbi trukmė.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Kampu traukiamo kūno darbas

Duota. $F=80\ \text{N}$ , poslinkis $s=12\ \text{m}$ horizontaliai, jėga su juo sudaro $30^\circ$ .

Rasti. Šios pastovios jėgos atliktą mechaninį darbą.

Modelis ir sąlygos. Jėgos modulis ir jos $30^\circ$ kampas su tiesiu poslinkiu nekinta. Darbą atlieka tik poslinkio krypties dedamoji $F\cos\alpha$ ; nagrinėjame būtent šios jėgos, ne atstojamosios, darbą.

Vienetai. $\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}$ , o kosinusas bedimensis; visi dydžiai jau SI vienetais.

Skaičiavimas.

$W=80\cdot12\cos30^\circ=831\ \text{J}.$

Vertikalioji jėgos dedamoji darbo neatlieka, nes vertikalaus poslinkio nėra.

Atsakymas. Apie $8{,}3\cdot10^2\ \text{J}$ .

Patikra. Kadangi $0^\circ<30^\circ<90^\circ$ , darbas teigiamas, bet mažesnis už $Fs=960\ \text{J}$ ; $831\ \text{J}$ šią ribą tenkina. Vertikalioji dedamoji darbo neatlieka, nes vertikalaus poslinkio nėra.

2. Darbas iš grafiko

Duota. Jėga nuo $x=0$ iki $2\ \text{m}$ tiesiškai padidėja nuo 0 iki 6 N, o nuo 2 iki 5 m lieka 6 N.

Rasti. Jėgos atliktą darbą nuo $x=0$ iki $x=5\ \text{m}$ .

Modelis ir sąlygos. Pateikta jėga yra poslinkio krypties dedamoji $F_x(x)$ , o judėjimas vyksta didėjančio $x$ kryptimi. Darbas lygus pasirašytam plotui po grafiku; visas grafikas virš ašies.

Vienetai. Grafiko ploto vienetas $\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}$ .

Skaičiavimas. Pirmas plotas – trikampis, antras – stačiakampis:

$W_1=\frac12\cdot2\cdot6=6\ \text{J},$

$W_2=3\cdot6=18\ \text{J}.$

Atsakymas. Bendras darbas $24\ \text{J}$ .

Patikra. Vidutinė jėga visame $5\ \text{m}$ intervale būtų $W/s=4{,}8\ \text{N}$ , kuri patenka tarp grafiko $0$ ir $6\ \text{N}$ ribų. Abu plotai teigiami, o $6+18=24\ \text{J}$ .

3. Laiptų galia

Duota. $m=65\ \text{kg}$ žmogus pakyla $h=4{,}0\ \text{m}$ per $6{,}5\ \text{s}$ ; $g=9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Rasti. Naudingą mechaninį darbą didinant gravitacinę potencinę energiją ir vidutinę mechaninę galią.

Modelis ir sąlygos. Pradžios ir pabaigos greičiai laikomi vienodais, todėl naudingas darbas yra $mgh$ . $g$ pastovus, o žmogų laikome materialiuoju tašku; organizmo vidinės energijos sąnaudų ši formulė neapima.

Vienetai. $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\cdot\text{m}=\text{J}$ ; džaulį padalijus iš sekundės gaunamas vatas.

Skaičiavimas.

$W=mgh=65\cdot9{,}8\cdot4{,}0=2548\ \text{J}.$

$P_{\text{vid}}=\frac{2548}{6{,}5}=392\ \text{W}.$

Atsakymas. Naudingas mechaninis darbas $W=2548\ \text{J}\approx2{,}5\ \text{kJ}$ , o vidutinė mechaninė galia apie $3{,}9\cdot10^2\ \text{W}$ ; metabolinė galia didesnė.

Patikra. $392\ \text{W}\cdot6{,}5\ \text{s}=2548\ \text{J}$ atkuria darbą. Maždaug kelių šimtų vatų trumpalaikė mechaninė galia žmogui yra prasmingos dydžio eilės, o teigiamas ženklas atitinka kilimą.

4. Momentinė transporto priemonės galia

Duota. Varomoji jėga judėjimo kryptimi $F=2{,}5\ \text{kN}$ , greitis $v=20\ \text{m/s}$ .

Rasti. Momentinę mechaninę galią.

Modelis ir sąlygos. Jėga veikia jos veikimo tašką lygiagrečiai momentiniam greičiui, todėl $\alpha=0$ ir $P=Fv$ . Jėgą bei greitį laikome momentinėmis vertėmis; variklio įėjimo galios ir nuostolių neskaičiuojame.

Vienetai. $2{,}5\ \text{kN}=2500\ \text{N}$ , o $\text{N}\cdot\text{m/s}=\text{W}$ .

Skaičiavimas.

$P=Fv=2500\cdot20=5{,}0\cdot10^4\ \text{W}=50\ \text{kW}.$

Atsakymas. $50\ \text{kW}$ mechaninės galios tuo momentu.

Patikra. Per $1\ \text{s}$ kūnas nueitų $20\ \text{m}$ , o jėga atliktų $2500\cdot20=50\,000\ \text{J}$ darbą, taigi galia $50\,000\ \text{J/s}=50\ \text{kW}$ . Ženklas teigiamas, nes jėga ir greitis vienakrypčiai.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Nešamas lagaminas. Einant horizontaliai pastoviu aukščiu, žmogaus vertikali atramos jėga lagaminui yra statmena poslinkiui, todėl jos mechaninis darbas lagaminui idealizuotai lygus nuliui. Žmogaus organizmas vis tiek eikvoja energiją.

Įcentrinė jėga. Tolygiai apskritimu judančiam kūnui įcentrinė atstojamoji statmena momentiniam greičiui, todėl darbo neatlieka ir greičio modulio nekeičia; ji keičia kryptį.

Praktinė veikla: darbas iš grafiko ir žmogaus galia

A. Kilmė: BP_REQUIRED (§30.3.1). Skaitmeninėje skaičiuoklėje pateikite pastovios arba tolygiai kintančios jėgos $F_x(x)$ duomenis, nubraižykite grafiką ir darbą raskite kaip stačiakampių bei trikampių pasirašytų plotų sumą. Bent vieną ruožą pateikite žemiau ašies. Patikrinkite, ar skaitinio integravimo suma suderinama su geometriniu plotu; ašyse privalomi dydžiai ir vienetai. Jei duomenys matuoti dinamometru, pridėkite jėgos ir padėties neapibrėžtis, neviršykite prietaiso diapazono, pritvirtinkite traukimo takelį ir saugokite kūno judėjimo zoną.

B. Kilmė: EDITORIAL. Išmatuokite vertikalų laiptų aukštį, dalyvio masę ir kilimo trukmę. Atlikite kelis bandymus saugiu tempu. Apskaičiuokite $mgh/t$ , pateikite sklaidą ir atskirkite mechaninę galią nuo visos organizmo energijos sąnaudų. Laiptai turi būti sausi, neužstatyti; dalyvis gali atsisakyti, o lenktyniavimas nėra būtinas.

Dažnos klaidos

Darbą skaičiuoti iš visos jėgos, nepaisant kampo.
Trinties darbą laikyti teigiamu vien todėl, kad trinties modulis teigiamas.
Pamiršti, kad grafiko plotas žemiau ašies yra neigiamas.
Galią tapatinti su energija arba darbu.
$P=Fv$ taikyti, kai jėga ir greitis nėra lygiagretūs, neįtraukus skaliarinės sandaugos.
Žmogaus mechaninę galią prilyginti metabolinei galiai.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Darbas yra jėgos ir poslinkio skaliarinė sandauga.
Darbo ženklą lemia jėgos dedamosios kryptis poslinkio atžvilgiu.
Kintamos jėgos darbas gaunamas iš pasirašyto $F_x(x)$ grafiko ploto.
Galia nusako, kaip sparčiai atliekamas darbas ar perduodama energija.

Savikontrolė

Kada nenulinė jėga neatlieka darbo?
Ką reiškia neigiamas plotas po $F_x(x)$ grafiku?
Kuo vidutinė galia skiriasi nuo momentinės?
Kodėl nešant krovinį horizontaliai mechaninis darbas gali būti nulis?
Kokios sąlygos būtinos formulei $P=Fv$ be kosinuso?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančio 25 priedo tikslus §30.3.1 tekstas apie darbą, jo ryšį su energijos pokyčiu, $F(x)$ grafiko plotą ir galią.
PHY-SRC-BP-V1269 – įsakymo suvestinės normatyvinis kontekstas.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus energijos temos turinio atvaizdavimas.