Kinetinė, potencinė ir mechaninė energija

Duota. $m=4{,}0\ \text{kg}$ kūnas iš rimties patiria $72\ \text{J}$ teigiamą atstojamosios darbą.

Rasti. Kūno galutinio greičio modulį.

Modelis ir sąlygos. Kūno masė pastovi, pasirinkta inercinė sistema, o $72\ \text{J}$ yra visų kūną veikiančių jėgų bendras darbas. Taikome darbo ir kinetinės energijos teoremą; pradinis greitis lygus nuliui.

Vienetai. $1\ \text{J}=1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$, todėl $\sqrt{\text{J}/\text{kg}}=\text{m/s}$.

Skaičiavimas.

$72=\frac{mv^2}{2}-0,$

$v=\sqrt{\frac{2\cdot72}{4{,}0}}=6{,}0\ \text{m/s}.$

Atsakymas. $6{,}0\ \text{m/s}$.

Patikra. $mv^2/2=4{,}0\cdot6{,}0^2/2=72\ \text{J}$ atkuria darbą. Teigiamas darbo ženklas nuo rimties turi padidinti kinetinę energiją, greičio modulis negali būti neigiamas, o vienetas yra $\text{m/s}$.

Duota. $m=12\ \text{kg}$ krovinys pakeliamas nuo 1,5 m iki 4,0 m aukščio; $g=9{,}8\ \text{m/s}^2$.

Rasti. Sistemos Žemė–krovinys gravitacinės potencinės energijos pokytį.

Modelis ir sąlygos. Aukščio pokytis mažas Žemės spindulio atžvilgiu, todėl $g$ laikome pastoviu. Skaičiuojame energijos pokytį, tad pasirinktas nulinis aukštis rezultato nekeičia.

Vienetai. Abu aukščiai turi būti tais pačiais metrais; $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\cdot\text{m}=\text{J}$.

Skaičiavimas. $\Delta h=4{,}0-1{,}5=2{,}5\ \text{m}$:

$\Delta E_p=12\cdot9{,}8\cdot2{,}5=294\ \text{J}.$

Atsakymas. Sistemos Žemė–krovinys potencinė energija padidėja $294\ \text{J}$, nepriklausomai nuo pasirinkto nulio.

Patikra. Aukštis didėja, todėl $\Delta E_p>0$. Kiekvienam metrui reikia maždaug $12\cdot9{,}8\approx118\ \text{J}$, o $2{,}5$ metro — apie $295\ \text{J}$; dydžio eilė ir vienetas sutampa.

Duota. $k=300\ \text{N/m}$, suspaudimas $x=0{,}080\ \text{m}$.

Rasti. Spyruoklės potencinę energiją ir $m=0{,}12\ \text{kg}$ kūno greitį, jei visa ši energija idealiai virstų jo kinetine energija.

Modelis ir sąlygos. Spyruoklė ideali ir veikia Huko dėsnio srityje, kūnas pradžioje rimsta, o trinties, oro pasipriešinimo, spyruoklės masės bei likutinės jos energijos nepaisome. Greičio prognozė yra viršutinė idealaus perdavimo riba.

Vienetai. $k$ jau $\text{N/m}$, $x$ metrais; $(\text{N/m})\text{m}^2=\text{J}$, o $\sqrt{\text{J}/\text{kg}}=\text{m/s}$.

Skaičiavimas.

$E_{p,s}=\frac12\cdot300\cdot0{,}080^2=0{,}96\ \text{J}.$

Jei idealiai visa energija pereitų $m=0{,}12\ \text{kg}$ kūnui:

$\frac12mv^2=0{,}96,$

$v=4{,}0\ \text{m/s}.$

Atsakymas. $0{,}96\ \text{J}$; idealaus perdavimo greitis $4{,}0\ \text{m/s}$.

Patikra. $0{,}12\cdot4{,}0^2/2=0{,}96\ \text{J}$ tiksliai atkuria spyruoklės energiją. Energijos ženklas teigiamas ir ji proporcinga $x^2$; realiame bandyme dėl nuostolių greitis negalėtų viršyti idealios $4{,}0\ \text{m/s}$ prognozės.

Duota. $m=1000\ \text{kg}$ automobilis lėtėja nuo 20 iki $10\ \text{m/s}$.

Rasti. Automobilį veikiančių jėgų atstojamosios darbą.

Modelis ir sąlygos. Masė pastovi, abu greičiai išmatuoti toje pačioje inercinėje atskaitos sistemoje. Taikome $W_{\text{atst}}=\Delta E_k$; nereikia žinoti atskirų stabdymo jėgų ar kelio.

Vienetai. $\text{kg}(\text{m/s})^2=\text{J}$; greičiai jau SI vienetais.

Skaičiavimas.

$W_{\text{atst}}=\frac12m(v_2^2-v_1^2)$

$=500(100-400)=-1{,}5\cdot10^5\ \text{J}.$

Atsakymas. Atstojamosios darbas $-150\ \text{kJ}$; tiek sumažėjo automobilio kinetinė energija.

Patikra. Pradinė energija $200\ \text{kJ}$, galutinė $50\ \text{kJ}$, tad pokytis $-150\ \text{kJ}$. Neigiamas ženklas atitinka greičio modulio mažėjimą; energijos vienetas ir $10^5\ \text{J}$ dydžio eilė automobiliui prasmingi.

Duota. $m_1=1{,}0\ \text{kg}$ kūnas juda $+6{,}0\ \text{m/s}$, $m_2=2{,}0\ \text{kg}$ rimsta; po centrinio susidūrimo kūnai sulimpa.

Rasti. Bendrą greitį po susidūrimo ir mechaninės energijos dalį, virtusią vidine energija bei deformacija.

Modelis ir sąlygos. Susidūrimas vienmatis ir visiškai netamprus, o sistemos „abu kūnai“ išorinis impulsas per trumpą sąveiką nereikšmingas. Judesio kiekis išlieka, bet kinetinės energijos tvermės netaikome; visa energija platesnėje sistemoje išlieka.

Vienetai. Judesio kiekis $\text{kg}\cdot\text{m/s}$, greitis $\text{m/s}$, kinetinės ir vidinės energijos pokyčiai džauliais.

Skaičiavimas. Iš judesio kiekio tvermės

$1{,}0\cdot6{,}0+2{,}0\cdot0=(1{,}0+2{,}0)v,$

$v=2{,}0\ \text{m/s}.$

Prieš smūgį $E_{k,i}=1{,}0\cdot6{,}0^2/2=18\ \text{J}$, po jo $E_{k,f}=3{,}0\cdot2{,}0^2/2=6{,}0\ \text{J}$, todėl

$\Delta U=18-6=12\ \text{J}.$

Atsakymas. Kūnai juda $+2{,}0\ \text{m/s}$, o $12\ \text{J}$ pradinės kinetinės energijos virto kitomis energijos formomis.

Patikra. Judesio kiekis prieš ir po lygus $+6{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$, o energijos balansas $18=6+12\ \text{J}$. Bendras greitis yra tarp pradinių $0$ ir $6\ \text{m/s}$, o disipacija teigiama — visi trys patikrinimai fiziškai prasmingi.