Fizikiniai dydžiai, SI sistema ir matmenys

Mokymosi tikslai

Skirti fizikinį dydį, jo skaitinę vertę ir matavimo vienetą.
Naudoti septynis SI pagrindinius vienetus ir dažnus išvestinius vienetus.
Teisingai taikyti dešimtainius priešdėlius bei laipsnines konversijas.
Užrašyti dydžio SI matmenį ir patikrinti formulės homogeniškumą.
Atpažinti, ko matmenų analizė negali įrodyti.

Prisimink

Dydžio vertė rašoma kaip skaičiaus ir vieneto sandauga, pavyzdžiui, $l=2{,}4\ \text{m}$ . Sudedami tik tos pačios rūšies ir tais pačiais vienetais išreikšti dydžiai. Lygties abiejų pusių matmenys turi sutapti.

Sąvokos ir simboliai

Fizikinis dydis – išmatuojama kūno, reiškinio ar medžiagos savybė.
Vienetas – sutarta tos rūšies dydžio atskaitos vertė.
Matmuo – dydžio priklausomybė nuo pagrindinių dydžių, nepaisant pasirinkto vieneto.
Koherentinis vienetas – iš pagrindinių SI vienetų gaunamas be papildomo skaitinio koeficiento.
$[Q]$ – dydžio $Q$ matmuo.
$L,M,T,I,\Theta,N,J$ – ilgis, masė, laikas, elektros srovė, temperatūra, medžiagos kiekis ir šviesos stipris.

Teorija: SI pagrindas

Pagrindinis dydis	Simbolis	SI vienetas	Vieneto simbolis
laikas	$t$	sekundė	s
ilgis	$l$	metras	m
masė	$m$	kilogramas	kg
elektros srovė	$I$	amperas	A
termodinaminė temperatūra	$T$	kelvinas	K
medžiagos kiekis	$n$	molis	mol
šviesos stipris	$I_v$	kandela	cd

Šiuolaikiniai pagrindinių vienetų apibrėžimai

Nuo 2019 m. visa SI sistema apibrėžta fiksuojant tikslias septynių gamtos konstantų skaitines vertes. Taip vienetai nepriklauso nuo vieno saugomo daikto; laboratorija juos realizuoja matavimų grandine, susieta su konstanta.

Vienetas	Fiksuota konstanta ir tiksli jos vertė	Apibrėžimo prasmė
sekundė (s)	cezio-133 pagrindinės būsenos hiperstruktūrinio šuolio dažnis $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}}=9\,192\,631\,770\ \text{Hz}$	sekundė realizuojama skaičiuojant tiksliai apibrėžto atominio virsmo periodus
metras (m)	šviesos greitis vakuume $c=299\,792\,458\ \text{m/s}$	metras susietas su keliu, kurį šviesa vakuume nueina per atitinkamą sekundės dalį
kilogramas (kg)	Planko konstanta $h=6{,}626\,070\,15\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$	masės vienetas realizuojamas per kvantinius elektrinius ir mechaninius matavimus
amperas (A)	elementarusis krūvis $e=1{,}602\,176\,634\cdot10^{-19}\ \text{C}$	srovė susiejama su tiksliai apibrėžtu elementariųjų krūvių srautu per laiką
kelvinas (K)	Bolcmano konstanta $k_\mathrm{B}=1{,}380\,649\cdot10^{-23}\ \text{J/K}$	temperatūros vienetas susietas su dalelėms tenkančios šiluminės energijos masteliu
molis (mol)	Avogadro konstanta $N_\mathrm{A}=6{,}022\,140\,76\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}$	vienas molis turi tiksliai $6{,}022\,140\,76\cdot10^{23}$ nurodytų elementariųjų objektų
kandela (cd)	$540\cdot10^{12}\ \text{Hz}$ dažnio monochromatinės spinduliuotės šviesinis našumas $K_\mathrm{cd}=683\ \text{lm/W}$	šviesos stipris susiejamas su žmogaus regos jautrumui parinkta spinduliuote ir jos galia

Skaičiai lentelėje yra tikslūs apibrėžimai, ne eksperimentinės konstantų aproksimacijos. Praktinė vieneto realizacija vis tiek turi matavimo neapibrėžtį.

Dažni išvestiniai vienetai:

$1\ \text{N}=1\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2},$

$1\ \text{J}=1\ \text{N}\cdot\text{m}=1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2},$

$1\ \text{W}=1\ \text{J/s},\qquad 1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2,$

$1\ \text{C}=1\ \text{A}\cdot\text{s},\qquad 1\ \text{V}=1\ \text{J/C}.$

Formulės ir SI: priešdėliai ir konversijos

Priešdėlis	Simbolis	Daugiklis
giga	G	$10^9$
mega	M	$10^6$
kilo	k	$10^3$
centi	c	$10^{-2}$
mili	m	$10^{-3}$
mikro	$\mu$	$10^{-6}$
nano	n	$10^{-9}$

Kai vienetas pakeltas laipsniu, laipsniu keliama visa konversija:

$1\ \text{cm}^2=(10^{-2}\ \text{m})^2=10^{-4}\ \text{m}^2,$

ne $10^{-2}\ \text{m}^2$ .

Temperatūros skirtumui $1\ ^\circ\text{C}=1\ \text{K}$ , bet temperatūros atskaitos pradžios skiriasi:

$T(\text{K})=t(^{\circ}\text{C})+273{,}15.$

Kelvino simbolis rašomas be laipsnio ženklo.

Skaliarai ir vektoriai

Skaliarą nusako skaitinė vertė ir vienetas, pavyzdžiui, masė, laikas ar temperatūra. Vektoriui papildomai būtina kryptis: tokie yra poslinkis, greičio vektorius, pagreitis ir jėga. Vektoriai sudedami geometrine arba dedamųjų taisykle, todėl priešingų krypčių vienodo modulio vektorių suma lygi nuliui. Vektoriaus modulis yra skaliaras ir negali būti neigiamas, tačiau pasirinktos ašies projekcija gali būti neigiama. Vienodi matmenys dar nereiškia, kad dydžiai tos pačios fizikinės prasmės ar kad skaliarą galima tiesiogiai sudėti su vektoriumi.

Matmenų analizė

Greitis $v=s/t$ , todėl

$[v]=LT^{-1}.$

Pagreitis $a=\Delta v/\Delta t$ :

$[a]=LT^{-2}.$

Jėga $F=ma$ :

$[F]=MLT^{-2}.$

Fizikinė lygtis turi būti matmeniškai homogeninė. Matmenų analizė aptinka daug perrašymo klaidų ir padeda numatyti vieneto formą, tačiau neaptinka bedimensio skaitinio koeficiento, ženklo ar neteisingai pasirinkto tos pačios dimensijos dydžio. Darbas ir sukimo momentas turi tą patį matmenį, bet yra skirtingi fizikiniai dydžiai.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Greičio konversija

Duota. $v=72\ \text{km/h}$ .

Rasti. Greitį SI vienetais $\text{m/s}$ .

Modelis ir sąlygos. Keičiame tik vienetą, ne fizikinę greičio vertę. Naudojame tikslius ryšius $1\ \text{km}=1000\ \text{m}$ ir $1\ \text{h}=3600\ \text{s}$ .

Vienetai. Vienetų trupmeną dauginame iš santykių, lygių vienetui: $1000\ \text{m}/1\ \text{km}$ ir $1\ \text{h}/3600\ \text{s}$ .

Skaičiavimas.

$72\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=72\cdot\frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}=20\ \text{m/s}.$

Atsakymas. $20\ \text{m/s}$ . Konversijos koeficientai lygūs vienetui, todėl fizikinė vertė nepasikeitė.

Patikra. Perskaičiavus atgal, $20\cdot3{,}6=72\ \text{km/h}$ . Skaitinė vertė sumažėjo, nes $\text{m/s}$ vienetas yra didesnis už $\text{km/h}$ ; teigiamas kelių transporto greičio dydis fiziškai prasmingas.

2. Ploto ir slėgio vienetai

Duota. $F=240\ \text{N}$ , plotas $S=12\ \text{cm}^2$ .

Rasti. Slėgį $p=F/S$ paskaliais ir kilopaskaliais.

Modelis ir sąlygos. Jėga statmena plokščiam paviršiui ir tolygiai pasiskirsčiusi visame nurodytame plote. Kraštų bei netolygaus kontakto poveikio nepaisome.

Vienetai. Plotui laipsniu keliame visą ilgio konversiją: $1\ \text{cm}^2=(10^{-2}\ \text{m})^2=10^{-4}\ \text{m}^2$ .

Skaičiavimas.

$S=12(10^{-2}\ \text{m})^2=1{,}2\cdot10^{-3}\ \text{m}^2.$

$p=\frac{240}{1{,}2\cdot10^{-3}}\ \text{Pa}=2{,}0\cdot10^5\ \text{Pa}.$

Atsakymas. $p=2{,}0\cdot10^5\ \text{Pa}=200\ \text{kPa}$ .

Patikra. $\text{N}/\text{m}^2=\text{Pa}$ , todėl matmenys sutampa. $12\ \text{cm}^2$ yra mažas plotas, tad kelių šimtų niutonų jėga pagrįstai sukuria $10^5\ \text{Pa}$ eilės slėgį; $200\ \text{kPa}=2{,}0\cdot10^5\ \text{Pa}$ .

3. Formulės matmenų patikra

Duota. Siūloma poslinkio lygtis $s=v_0t+at^2/2$ , kur $[v_0]=LT^{-1}$ , $[a]=LT^{-2}$ ir $[t]=T$ .

Rasti. Ar lygtis yra matmeniškai homogeninė ir ką ši patikra leidžia teigti?

Modelis ir sąlygos. Atliekame tik matmenų analizę: ji gali atmesti nesuderinamą lygtį, tačiau negali patvirtinti skaitinio koeficiento, ženklo ar pastovaus pagreičio prielaidos.

Vienetai. Naudojame pagrindinius ilgio $L$ ir laiko $T$ matmenis; bedimensis koeficientas $1/2$ matmens nekeičia.

Skaičiavimas.

$[v_0t]=(LT^{-1})T=L,$

$[at^2]=(LT^{-2})T^2=L.$

Abu dėmenys ir kairioji pusė turi ilgio matmenį.

Atsakymas. Lygtis matmeniškai galima, tačiau vien ši patikra jos fiziškai neįrodo.

Patikra. Abu sudedami dėmenys turi tą patį $L$ matmenį kaip $s$ , todėl sudėtis leistina. Pakeitus $1/2$ kitu bedimensiu skaičiumi matmenys nepasikeistų — tai patvirtina aiškiai įvardytą metodo ribą.

4. Dydžio matmens nustatymas

Duota. Spyruoklės konstanta $k=F/\Delta l$ .

Rasti. $k$ matmenį ir SI vienetą pagrindiniais vienetais.

Modelis ir sąlygos. Nagrinėjame tiesinį vienmatį spyruoklės modelį, kuriame $k$ apibrėžiamas jėgos ir pailgėjimo santykiu. Matmuo nuo konkrečios spyruoklės vertės nepriklauso.

Vienetai. $[F]=MLT^{-2}$ , $[\Delta l]=L$ , o $1\ \text{N}=1\ \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2$ .

Skaičiavimas.

$[k]=\frac{MLT^{-2}}{L}=MT^{-2}.$

SI vienetas $\text{N/m}=\text{kg/s}^2$ .

Atsakymas. $[k]=MT^{-2}$ , o SI baziniais vienetais $[k]=\text{kg}/\text{s}^2$ ; tai nėra energijos ar slėgio matmuo.

Patikra. $\text{N/m}=(\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2)/\text{m}=\text{kg}/\text{s}^2$ , todėl ilgio matmuo susiprastina ir gauname $MT^{-2}$ . Įstačius $F=k\Delta l$ , dešinė pusė vėl turi jėgos matmenį $MLT^{-2}$ .

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Tas pats matmuo – ne tas pats dydis. Darbas $W=Fs$ ir sukimo momentas $M=Fr$ matuojami $\text{N}\cdot\text{m}$ , tačiau darbas yra skaliarinis energijos perdavimas, o momentas apibūdina jėgos sukamąjį poveikį. Sukimo momento vienetas paprastai nevadinamas džauliu.

Bedimensiai dydžiai. Kampas radianais, lūžio rodiklis ir naudingumo koeficientas yra bedimensiai santykiai. Tai nereiškia, kad jie neturi fizikinės prasmės.

Praktinė veikla: vienetų auditas

Kilmė: EDITORIAL. §30.1.3 privalo aprėpti SI apibrėžimus, išvestinius vienetus ir konversijas; konkretus buities prietaisų etikečių audito formatas yra egzas.lt metodinis pasirinkimas.

Pasirinkite penkis buities prietaisų užrašus, pavyzdžiui, galią, energiją, įtampą ar talpą. Kiekvieną dydį perrašykite SI vienetais, nustatykite jo matmenį ir paaiškinkite, ar užrašas reiškia momentinį dydį, ar per laiką sukauptą kiekį. Atskirai patikrinkite, ar $\text{kW}$ ir $\text{kWh}$ nesupainioti. Jei etiketėje pateikta tolerancija ar energijos sąnaudų intervalas, išsaugokite jį kaip neapibrėžties informaciją. Prietaisą tik apžiūrėkite: prieš liesdami jungtis išjunkite iš tinklo, neatidarykite korpuso ir nieko nejunkite į matavimo grandinę.

Dažnos klaidos

Vieneto simbolį vartoti kaip dydžio simbolį arba atvirkščiai.
Rašyti Kg, sec, m/s. vietoje kg, s, m/s.
Ploto ar tūrio konversijai laipsniu nepakelti daugiklio.
Celsijaus temperatūrą paversti kelvinais dauginant.
Sudėti skirtingų matmenų dėmenis.
Iš matmenų sutapimo daryti išvadą, kad formulė būtinai teisinga.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

SI leidžia vienareikšmiškai palyginti fizikinių dydžių vertes.
Išvestinis vienetas gaunamas iš formulės ir pagrindinių vienetų.
Laipsninėse konversijose laipsnis taikomas ir skaitiniam daugikliui.
Matmenų analizė yra būtina, bet nepakankama formulės teisingumo patikra.

Savikontrolė

Kuo dydis skiriasi nuo jo vieneto?
Kiek kvadratinių metrų yra $250\ \text{cm}^2$ ?
Koks galios matmuo pagrindiniais dydžiais?
Kodėl $20\ ^\circ\text{C}$ nėra $20\ \text{K}$ ?
Kokių klaidų matmenų analizė neaptinka?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančio 25 priedo tikslus §30.1.3 tekstas apie šiuolaikinius SI apibrėžimus, išvestinius vienetus, konversijas, vektorius ir paklaidas.
PHY-SRC-BIPM-SI-9 – BIPM SI brošiūros 9 leidimo skyriai „SI base quantities“, „SI derived units“ ir vienetų rašymo taisyklės.
PHY-SRC-BP-V1269 – įsakymo suvestinės normatyvinis kontekstas.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus programos turinio atvaizdavimas.