Matavimai, neapibrėžtys, skaičiavimai ir grafikai

Mokymosi tikslai

Atskirti tiesioginį ir netiesioginį matavimą, atsitiktinę sklaidą ir sisteminį poslinkį.
Pateikti rezultatą su absoliučiąja bei santykine neapibrėžtimi.
Tinkamai apvalinti galutinį rezultatą, neapvalinant tarpinių veiksmų.
Nubraižyti grafiką su dydžiais, vienetais, tinkamu masteliu ir geriausio atitikimo linija.
Iš grafiko nustatyti nuolydį, sankirtą ir įvertinti, ar duomenys palaiko modelį.

Prisimink

Nė vienas realus matavimas nėra be neapibrėžties. Matavimo rezultatas reiškia ne vieną „tikrą“ skaitmenį, o pagrįstą verčių intervalą. Didesnis skaitmenų skaičius skaičiuotuvo ekrane savaime nesuteikia didesnio tikslumo.

Sąvokos ir simboliai

Tiesioginis matavimas – dydis tiesiogiai palyginamas su prietaiso skale.
Netiesioginis matavimas – dydis apskaičiuojamas iš kitų išmatuotų dydžių.
Absoliučioji neapibrėžtis $u_x$ – rezultato neapibrėžties įvertis tais pačiais vienetais kaip $x$ .
Santykinė neapibrėžtis $u_r=u_x/|x|$ ; procentinė – $100u_r\%$ .
Sisteminė paklaida – pastovus ar dėsningas poslinkis dėl metodo arba prietaiso.
Atsitiktinė sklaida – neprognozuojami pakartojimų skirtumai.
Liekanos $e_i=y_i-y_{\text{modelis},i}$ – duomens ir modelio skirtumai.

Teorija: matavimo rezultato pateikimas

Rezultatą rašome

$x=(x_0\pm u_x)\ \text{vienetas}.$

Neapibrėžtis paprastai apvalinama iki vieno reikšminio skaitmens, o jei pirmasis yra 1 ar 2 – dažnai iki dviejų. Išmatuota vertė apvalinama iki tos pačios dešimtainės skilties. Pavyzdžiui, ne $(12{,}347\pm0{,}2)\ \text{cm}$ , o $(12{,}3\pm0{,}2)\ \text{cm}$ .

Mokykliniams skaičiavimams, kai dydžiai nepriklausomi, dažnai taikomi konservatyvūs įverčiai:

$z=x\pm y:\qquad u_z\approx u_x+u_y,$

$z=xy\ \text{arba}\ z=\frac{x}{y}:\qquad \frac{u_z}{|z|}\approx\frac{u_x}{|x|}+\frac{u_y}{|y|}.$

Tai nėra vienintelis statistinis neapibrėžčių sklidimo būdas. Jei užduotis nurodo kitą taisyklę, taikoma ji.

Formulės ir SI: grafikų dydžiai ir kriterijai

Nepriklausomas dydis paprastai žymimas horizontalioje ašyje.
Prie kiekvienos ašies rašomas dydis ir vienetas, pavyzdžiui, $t/\text{s}$ .
Mastelis tolygus ir išnaudoja didžiąją braižymo srities dalį.
Duomenų taškai žymimi aiškiai; jų nejungiame laužte, jei modelis nėra atkarpinis.
Brėžiama geriausio atitikimo linija ar kreivė, o ne linija per patogiausius taškus.
Nuolydžiui imami du toli vienas nuo kito esantys linijos, ne būtinai matavimo, taškai.
Neapibrėžtys, kai žinomos ir svarbios, rodomos paklaidų juostomis.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Absoliučioji ir procentinė neapibrėžtis

Duota. $l=(48{,}2\pm0{,}3)\ \text{cm}$ .

Rasti. Santykinę ir procentinę ilgio neapibrėžtį.

Modelis ir sąlygos. Taikome $u_r=u_l/|l|$ vienam nenuliniam matavimo rezultatui. Pateiktą $u_l$ laikome absoliučiosios neapibrėžties įverčiu, o ne standartiniu nuokrypiu.

Vienetai. Skaitiklis ir vardiklis yra centimetrais, todėl santykyje vienetai susiprastina; procentinė neapibrėžtis taip pat bedimensė.

Skaičiavimas.

$u_r=\frac{0{,}3}{48{,}2}=0{,}00622,$

$100u_r\%=0{,}622\%.$

Atsakymas. Santykinė neapibrėžtis apie $0{,}0062$ , procentinė – apie $0{,}62\%$ .

Patikra. $0{,}3\ \text{cm}$ yra gerokai mažiau už $48{,}2\ \text{cm}$ , todėl mažesnė nei $1\%$ reikšmė logiška. Perskaičiavus $0{,}00622\cdot48{,}2\ \text{cm}\approx0{,}300\ \text{cm}$ , atkuriama absoliučioji neapibrėžtis.

2. Netiesioginio greičio neapibrėžtis

Duota. $s=(2{,}00\pm0{,}01)\ \text{m}$ , $t=(1{,}25\pm0{,}02)\ \text{s}$ .

Rasti. $v=s/t$ ir jo neapibrėžtį konservatyviu santykinių neapibrėžčių sumavimo būdu.

Modelis ir sąlygos. $s$ ir $t$ laikome nepriklausomais dydžiais ir taikome užduotyje pasirinktą mokyklinį didžiausių santykinių indėlių sumos įvertį. Tai nėra kvadratinės sumos statistinis metodas.

Vienetai. Metrai dalijami iš sekundžių, todėl greičio vienetas $\text{m/s}$ ; abiejų santykinių indėlių vienetai susiprastina.

Skaičiavimas. Tarpinių verčių neapvaliname:

$v=\frac{2{,}00}{1{,}25}=1{,}60\ \text{m/s},$

$\frac{u_v}{v}\approx\frac{0{,}01}{2{,}00}+\frac{0{,}02}{1{,}25}=0{,}021,$

$u_v\approx1{,}60\cdot0{,}021=0{,}0336\ \text{m/s}\approx0{,}03\ \text{m/s}.$

Atsakymas. $v=(1{,}60\pm0{,}03)\ \text{m/s}$ pagal nurodytą mokyklinę taisyklę.

Patikra. Santykinė greičio neapibrėžtis $0{,}03/1{,}60\approx1{,}9\%$ yra artima neapvalintiems $2{,}1\%$ ir didesnė už kiekvieną atskirą $0{,}5\%$ bei $1{,}6\%$ indėlį. Vienetas ir teigiama greičio vertė fiziškai prasmingi.

3. Nuolydis ir jo vienetas

Duota. Geriausio atitikimo linijoje pasirenkami taškai $(m_1,F_1)=(0{,}20\ \text{kg},1{,}9\ \text{N})$ ir $(0{,}80\ \text{kg},7{,}8\ \text{N})$ .

Rasti. $F(m)$ tiesės nuolydį ir jo fizikinę prasmę.

Modelis ir sąlygos. Taškai parinkti ant geriausio atitikimo tiesės, o kūnų svorį modeliuojame $F=mg+b$ . Nuolydį interpretuojame kaip $g$ tik jei masė yra nepriklausomas dydis ir kitų jėgų ar kalibravimo poveikis atsispindi sankirtoje.

Vienetai. Nuolydžio vienetas $\text{N/kg}$ , kuris iš $1\ \text{N}=1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ lygus $\text{m/s}^2$ .

Skaičiavimas.

$a=\frac{7{,}8-1{,}9}{0{,}80-0{,}20}\frac{\text{N}}{\text{kg}}=9{,}83\ \text{N/kg}.$

Kadangi $1\ \text{N/kg}=1\ \text{m/s}^2$ , nuolydis gali reikšti laisvojo kritimo pagreitį.

Atsakymas. $a\approx9{,}8\ \text{N/kg}=9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Patikra. $9{,}83\ \text{N/kg}\cdot(0{,}80-0{,}20)\ \text{kg}=5{,}90\ \text{N}$ — lygiai stebėtas jėgos pokytis. Teigiamas maždaug $10\ \text{m/s}^2$ nuolydis atitinka prie Žemės paviršiaus tikėtiną laisvojo kritimo pagreičio dydžio eilę.

4. Sankirtos interpretacija

Duota. Temperatūros jutiklio kalibravimo tiesė $T=0{,}102U-1{,}8$ , kur $T$ – $^\circ\text{C}$ , $U$ – mV. Esant $U=250\ \text{mV}$ rasti temperatūrą.

Rasti. Temperatūrą ir sankirtos fizikinę reikšmę.

Modelis ir sąlygos. Tiesinė kalibravimo lygtis taikoma tik jutiklio kalibravimo intervale; $0{,}102$ koeficiento vienetas yra $^\circ\text{C}/\text{mV}$ , o $-1{,}8\ ^\circ\text{C}$ yra nulio poslinkis.

Vienetai. Įtampa jau pateikta milivoltais — tais pačiais vienetais, kurių reikalauja kalibravimo koeficientas, todėl į voltus konvertuoti nereikia.

Skaičiavimas.

$T=0{,}102\cdot250-1{,}8=23{,}7\ ^\circ\text{C}.$

Sankirta $-1{,}8\ ^\circ\text{C}$ rodo nulio poslinkį modelyje; jos negalima ignoruoti.

Atsakymas. $23{,}7\ ^\circ\text{C}$ pagal kalibravimo intervale galiojantį modelį; sankirta $-1{,}8\ ^\circ\text{C}$ reiškia jutiklio modelio nulio poslinkį.

Patikra. $0{,}102\cdot250=25{,}5\ ^\circ\text{C}$ , o atėmus $1{,}8\ ^\circ\text{C}$ gaunama $23{,}7\ ^\circ\text{C}$ . Rezultatas yra kambario temperatūros dydžio eilės; ignoravus sankirtą atsakymas būtų sistemingai $1{,}8\ ^\circ\text{C}$ per didelis.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Tikslumas ir preciziškumas. Penki beveik vienodi, bet visi nuo etalono nutolę rezultatai yra preciziški, tačiau gali būti netikslūs dėl sisteminio poslinkio. Plačiai pasklidę rezultatai rodo menką preciziškumą.

Ar privaloma tiesė per pradžią? Net jei teorinis modelis $y=kx$ , išmatuotų taškų geriausio atitikimo linijos negalima prievarta vesti per $(0,0)$ , kol neįvertintas nulinis poslinkis. Reikšminga sankirta gali atskleisti sisteminį efektą.

Praktinė veikla: tankio nustatymas grafiku

Kilmė: EDITORIAL. §30.1.3 normatyviai reikalauja vertinti matavimo bei skaičiavimo tikslumą ir paklaidas; konkretus tankio nustatymo $m(V)$ grafiku bandymas yra egzas.lt metodinis būdas šiems gebėjimams ugdyti, o ne atskirai BP ar įgyvendinimo rekomendacijose įvardyta procedūra.

Iš tos pačios medžiagos parinkite bent penkis skirtingos masės gabalėlius. Išmatuokite jų masę ir tūrį. Braižykite $m$ nuo $V$ su vienetais. Pagal modelį $m=\rho V$ nuolydis yra tankis. Įvertinkite, ar sankirta suderinama su nuliu, nurodykite svarstyklių ir tūrio nuskaitymo neapibrėžtis bei paaiškinkite, kaip oro burbuliukai paveiktų rezultatą. Naudokite tik netirpias, nereaguojančias medžiagas, saugokite stiklinį matavimo cilindrą nuo smūgio ir iškart nuvalykite išsiliejusį vandenį.

Dažnos klaidos

Matavimo rezultatui prirašyti daugiau dešimtainių skaitmenų nei leidžia neapibrėžtis.
Tarpinius veiksmus apvalinti po kiekvienos eilutės.
Procentinę neapibrėžtį pridėti prie skaičiaus kaip absoliučiąją.
Grafiko ašyse nenurodyti dydžių ar vienetų.
Skaičiuoti nuolydį iš dviejų arti esančių triukšmingų taškų.
Geriausio atitikimo liniją būtinai vesti per pradžią.
Sistemingą poslinkį mėginti panaikinti vien kartojimais.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Rezultatas be neapibrėžties yra neišsamus.
Atsitiktinę sklaidą mažina kartojimai; sisteminį poslinkį reikia aptikti ir taisyti metodu ar kalibravimu.
Galutinis rezultatas apvalinamas pagal neapibrėžtį, o tarpiniai skaičiavimai saugomi tikslūs.
Grafiko nuolydis ir sankirta turi skaitinę vertę, vienetą ir fizikinę prasmę.

Savikontrolė

Kaip pateiktumėte $5{,}8362\ \text{s}$ , jei $u_t=0{,}14\ \text{s}$ ?
Kodėl kartojimai nemažina nulio poslinkio?
Kokį dydį reiškia $m(V)$ grafiko nuolydis?
Kodėl nuolydžio taškai nebūtinai turi būti eksperimentiniai taškai?
Kada ekstrapoliacija gali būti nepatikima?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančio 25 priedo tikslus §30.1.3 tekstas apie tikslumo įtaką, absoliučiąsias ir santykines paklaidas bei atsitiktinių ir sisteminių paklaidų mažinimą.
PHY-SRC-BP-V1269 – įsakymo suvestinės normatyvinis kontekstas.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus programos pasiekimų ir turinio atvaizdavimas.