Judesio kiekis, jėgos impulsas ir susidūrimai

Mokymosi tikslai

Apskaičiuoti kūno judesio kiekį ir jėgos impulsą.
Interpretuoti jėgos ir laiko grafiko plotą.
Taikyti judesio kiekio tvermę aiškiai apibrėžtai sistemai.
Skirti tamprųjį ir netamprųjį susidūrimą.
Paaiškinti saugos priemones pagal impulso ir sąveikos trukmės ryšį.

Prisimink

Judesio kiekis yra vektorius. Vienmatėje užduotyje kryptį būtina užkoduoti ženklu. Tvermės dėsnis taikomas visai pasirinktai sistemai, kai išorinių jėgų impulso galima nepaisyti nagrinėjamu laikotarpiu.

Sąvokos ir simboliai

Judesio kiekis $\vec p=m\vec v$ , SI vienetas $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Jėgos impulsas $\vec J=\int\vec F\,dt$ , SI vienetas $\text{N}\cdot\text{s}$ .
Vidutinei pastovios krypties jėgai $\vec J=\vec F_{\text{vid}}\Delta t$ .
Uždara impulsui sistema – sistema, kuriai išorinis impulsas nagrinėjamu laiku nereikšmingas.
Tamprusis susidūrimas – išsaugomi bendras judesio kiekis ir kinetinė energija.
Visiškai netamprusis susidūrimas – kūnai po sąveikos juda kartu; judesio kiekis išsaugomas, kinetinė energija – ne.

Teorija: impulso ir judesio kiekio teorema

Iš bendros Niutono antrojo dėsnio formos:

$\vec J=\Delta\vec p=\vec p_2-\vec p_1.$

Jėgos modulio nuo laiko grafiko plotas lygus impulsui, jei kryptis nekinta; pasirašytame grafike plotas žemiau ašies yra neigiamas.

Judesio kiekio grafikas pateikia kitą to paties dėsnio vaizdą:

$\frac{d\vec p}{dt}=\sum\vec F.$

Taigi $p_x(t)$ grafiko nuolydis lygus atstojamosios jėgos projekcijai $F_x$ , o $F_x(t)$ grafiko pasirašytas plotas per tą patį intervalą lygus $\Delta p_x$ . Kai jėga lygi nuliui, $p_x(t)$ yra horizontali tiesė; pastovi teigiama jėga duoda tiesiškai didėjantį $p_x$ .

Tos pačios sąveikos judesio kiekio ir jėgos grafikai: p x nuo t tiesiškai didėja, jo nuolydis lygus F x, o stačiakampio plotas po pastoviu F x nuo t grafiku lygus judesio kiekio pokyčiui

Jei tas pats $\Delta p$ pasiekiamas per ilgesnį laiką, vidutinės jėgos modulis mažesnis:

$F_{\text{vid}}=\frac{\Delta p}{\Delta t}.$

Tai paaiškina saugos diržų tamprumą, oro pagalves ir minkštus nusileidimo paviršius. Jie nekeičia būtino judesio kiekio pokyčio, bet pailgina stabdymo trukmę ir paskirsto jėgą.

Formulės ir SI: judesio kiekio tvermė

Jei sistemos išorinis impulsas artimas nuliui:

$\sum\vec p_{\text{prieš}}=\sum\vec p_{\text{po}}.$

Kinetinės energijos tvermė nėra automatinė. Netampriame susidūrime dalis pradinės kinetinės energijos virsta vidine energija, deformacija ir garsu, tačiau bendra energija neišnyksta.

Dvi nepriklausomos susidūrimų klasifikacijos

Tamprusis ar netamprusis nusako energijos virsmą: tampriajame išlieka bendra kinetinė energija, netampriajame jos dalis virsta kitomis formomis, o visiškai netampriajame kūnai po smūgio juda kartu.
Centrinis ar necentrinis nusako geometriją. Centriniame smūgyje santykinis greitis smūgio akimirką nukreiptas išilgai kūnų masių centrus jungiančios tiesės; idealizuotoms dalelėms uždavinys dažnai tampa vienmatis. Necentriniame smūgyje yra statmena dedamoji, todėl judėjimas po smūgio yra dvimatis ir išplėstiems kūnams gali atsirasti sukimasis.

Šios klasifikacijos nepriklausomos: smūgis gali būti centrinis tamprusis, centrinis netamprusis, necentrinis tamprusis arba necentrinis netamprusis. Visais atvejais izoliuotos sistemos vektorinis judesio kiekis išlieka; kinetinės energijos tvermę reikia tikrinti atskirai.

Reaktyvusis judėjimas ir Kazimieras Semenavičius

Raketa ir jos išmetamos dujos sudaro kintamos masės sistemą: dujoms įgyjant judesio kiekį atgal, raketos judesio kiekis kinta pirmyn. Stūmai nereikia oro — svarbi raketos ir dujų sąveika. XVII a. Lietuvos Didžiosios Kunigaikštystės artilerijos inžinierius Kazimieras Semenavičius 1650 m. Amsterdame lotynų kalba išleistame veikale Artis Magnae Artilleriae pars prima („Didysis artilerijos menas. Pirmoji dalis“) sistemiškai aptarė parakines raketas ir brėžiniais pateikė nuosekliai jungiamų daugiapakopių raketų idėją. Tai istorinis raketų technikos indėlis; jo brėžiniai nėra šiuolaikinės raketos dinamikos lygties išvedimas.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Kamuolio impulsas

Duota. $m=0{,}20\ \text{kg}$ kamuolys juda į sieną $+12\ \text{m/s}$ , atšoka $-8{,}0\ \text{m/s}$ . Sąveika trunka $0{,}040\ \text{s}$ .

Rasti. Sienos jėgos impulsą kamuoliui ir vidutinę jėgą pasirinkta teigiama kryptimi į sieną.

Modelis ir sąlygos. Judėjimą laikome vienmačiu, kamuolio masė per sąveiką nekinta, o pateikta trukmė apima visą kontaktą. Vidutinė jėga apibrėžiama $F_{\text{vid}}=\Delta p/\Delta t$ ; ji neparodo momentinės jėgos maksimumo.

Vienetai. $\text{kg}\cdot\text{m/s}=\text{N}\cdot\text{s}$ , o impulsą padalijus iš sekundžių gaunami niutonai.

Skaičiavimas.

$\Delta p=m(v_2-v_1)=0{,}20(-8{,}0-12)=-4{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}.$

$F_{\text{vid}}=\frac{-4{,}0}{0{,}040}=-100\ \text{N}.$

Atsakymas. Impulsas kamuoliui $-4{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ , vidutinė jėga $-100\ \text{N}$ ; ženklas rodo kryptį nuo sienos.

Patikra. Pradinis $p_1=+2{,}4\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ , galutinis $p_2=-1{,}6\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ , tad pokytis $-4{,}0$ teisingas. $(-100\ \text{N})(0{,}040\ \text{s})=-4{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ ; neigiamas ženklas atitinka atšokimą.

2. Visiškai netamprus susidūrimas

Duota. $m_1=2{,}0\ \text{kg}$ juda $+5{,}0\ \text{m/s}$ , $m_2=3{,}0\ \text{kg}$ rimsta. Po susidūrimo kūnai sulimpa.

Rasti. Bendrą greitį po susidūrimo ir kinetinės energijos pokytį.

Modelis ir sąlygos. Susidūrimas vienmatis ir visiškai netamprus, o išorinis impulsas per trumpą sąveiką nereikšmingas. Todėl judesio kiekis išlieka, kūnai po smūgio turi tą patį greitį, bet kinetinės energijos tvermės netaikome.

Vienetai. Judesio kiekiai skaičiuojami $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ , greitis $\text{m/s}$ , kinetinė energija džauliais.

Skaičiavimas.

$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v,$

$v=\frac{2{,}0\cdot5{,}0}{5{,}0}=2{,}0\ \text{m/s}.$

Pradinė kinetinė energija $E_{k,i}=2{,}0\cdot5{,}0^2/2=25\ \text{J}$ , galutinė $E_{k,f}=5{,}0\cdot2{,}0^2/2=10\ \text{J}$ ; $15\ \text{J}$ virto kitomis energijos formomis.

Atsakymas. Bendras greitis po susidūrimo $+2{,}0\ \text{m/s}$ , o kinetinės energijos pokytis $\Delta E_k=10-25=-15\ \text{J}$ .

Patikra. Prieš smūgį ir po jo bendras judesio kiekis yra $+10\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ , taigi tvermės patikra praeina. Kinetinė energija sumažėjo, bet netapo neigiama; $15\ \text{J}$ skirtumas fiziškai gali virsti deformacijos, šilumine ir garso energija.

3. Dviejų krypčių susidūrimas

Duota. $0{,}50\ \text{kg}$ vežimėlis juda $+4{,}0\ \text{m/s}$ , $0{,}30\ \text{kg}$ juda $-2{,}0\ \text{m/s}$ . Po susidūrimo pirmasis juda $+1{,}0\ \text{m/s}$ .

Rasti. Antrojo vežimėlio greitį po susidūrimo.

Modelis ir sąlygos. Susidūrimas vienmatis, o išorinis impulsas per sąveiką nereikšmingas. Teigiama kryptis yra pirmojo vežimėlio pradinė kryptis; apie kinetinės energijos tvermę iš anksto nesprendžiame.

Vienetai. Visos masės kilogramais ir greičiai $\text{m/s}$ , todėl judesio kiekiai $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ , o ieškomas greitis $\text{m/s}$ .

Skaičiavimas.

$0{,}50\cdot4{,}0+0{,}30(-2{,}0)=0{,}50\cdot1{,}0+0{,}30v_2',$

$1{,}4=0{,}5+0{,}30v_2',$

$v_2'=3{,}0\ \text{m/s}.$

Atsakymas. Antrasis vežimėlis juda $+3{,}0\ \text{m/s}$ .

Patikra. Pradinis bendras judesio kiekis $2{,}0-0{,}6=1{,}4\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; galutinis $0{,}5+0{,}3\cdot3{,}0=1{,}4\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ . Teigiamas atsakymas reiškia, kad antrasis vežimėlis pakeitė kryptį, kas leidžiama sąveikos metu.

4. Impulsas iš grafiko

Duota. Jėga per 0,10 s tiesiškai padidėja nuo 0 iki 60 N, tada per kitą 0,20 s tiesiškai sumažėja iki 0.

Rasti. Jėgos impulsą ir kūno judesio kiekio pokytį, kai jėgos kryptis laikoma teigiama.

Modelis ir sąlygos. $F(t)$ grafikas sudarytas iš dviejų tiesinių ruožų virš laiko ašies, o jėgos kryptis nekinta. Todėl visas pasirašytas plotas yra vienas trikampis ir $J=\Delta p$ .

Vienetai. Grafiko ploto vienetas $\text{N}\cdot\text{s}=\text{kg}\cdot\text{m/s}$ .

Skaičiavimas. Grafiko plotas yra trikampio plotas, kurio pagrindas $0{,}30\ \text{s}$ , aukštis $60\ \text{N}$ :

$J=\frac12\cdot0{,}30\cdot60=9{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}.$

Atsakymas. Jėgos impulsas $J=9{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ , o judesio kiekio pokytis jėgos kryptimi $\Delta p=9{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .

Patikra. Vidutinė trikampio impulso jėga yra $60/2=30\ \text{N}$ , o $30\ \text{N}\cdot0{,}30\ \text{s}=9{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ . Vienetai sutampa su judesio kiekio pokyčiu, o ploto ženklas teigiamas, nes visas grafikas virš ašies.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Atšokimas. Vienodą pradinį greitį turintį kūną atšokinus priešinga kryptimi jo $|\Delta p|$ didesnis negu tik sustabdžius, todėl esant tai pačiai trukmei vidutinė jėga didesnė.

Raketa. Raketa greitėja išmesdama dujas priešinga kryptimi. Sistemos „raketa + dujos“ judesio kiekis išlieka net vakuume; stūmai nereikia atsispirti nuo oro.

Praktinė veikla: susidūrimų auditas

Kilmė: BP_REQUIRED (§30.2.3). BP tiesiogiai reikalauja bandymais aiškintis smūgių rūšis, tyrinėti judesio kiekio tvermę ir braižyti bei analizuoti $p(t)$ ir $F(t)$ grafikus.

Ant lygaus takelio filmuokite dviejų vežimėlių magnetinį arba lipnų susidūrimą. Atlikite bent po vieną artimą centriniam tampriajam ir centriniam visiškai netampriajam atvejį; necentrinį smūgį stebėkite tik ant plataus saugaus paviršiaus ir fiksuokite abi greičio dedamąsias. Iš vienodo laiko intervalų nustatykite greičius prieš ir po, pasverkite vežimėlius. Apskaičiuokite bendrą vektorinį $p$ ir kinetinę energiją. Jei turite jėgos jutiklį, sudarykite $F(t)$ ir skaitmeniškai įvertinkite plotą; iš judėjimo duomenų sudarykite $p(t)$ ir palyginkite jo pokytį su plotu. Rezultatus lyginkite su masės, padėties ir laiko neapibrėžtimis, o ne reikalaukite idealaus sutapimo. Naudokite takelio galinius stabdiklius ir saugokite veidą nuo judančių vežimėlių.

Sąveikos dydžius nustatykite vienodai apibrėžtu kontaktiniu intervalu. Jo pradžią ir pabaigą imkite pagal jėgos jutiklio nulio neapibrėžtį arba pirmą ir paskutinį vaizdo kadrą, kuriame kūnai liečiasi; taip gaunama sąveikos trukmė $\Delta t$ . Iš greičio duomenų raskite prieš ir po sąveikos turėtus greičius bei $\Delta\vec v$ , tada vidutinį pagreitį $\vec a_{\mathrm{vid}}=\Delta\vec v/\Delta t$ . Vidutinę jėgą nepriklausomai įvertinkite dviem būdais: $\vec F_{\mathrm{vid}}=m\vec a_{\mathrm{vid}}$ ir $\vec F_{\mathrm{vid}}=\Delta\vec p/\Delta t$ ; jei yra visas $F(t)$ įrašas, jo plotą palyginkite su $\Delta\vec p$ . Ataskaitoje pateikite nustatytus greitį, pagreitį, jėgą bei sąveikos laiką ir jų neapibrėžtis; jutiklio smailės nepainiokite su intervalo vidutine jėga.

Dažnos klaidos

Judesio kiekius sudėti kaip modulius, nepaisant krypčių.
Tvermę taikyti vienam kūnui vietoje uždaros sistemos.
Netampriame susidūrime reikalauti kinetinės energijos tvermės.
Pamesti atšokimo greičio ženklą.
Jėgos grafiko aukštį laikyti impulsu, nepaisant trukmės.
Saugos priemonę aiškinti kaip judesio kiekio pokyčio panaikinimą.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Jėgos impulsas lygus judesio kiekio pokyčiui.
Judesio kiekis išsaugomas sistemai, kurios išorinis impulsas nereikšmingas.
Kinetinė energija išsaugoma tik tampriajame susidūrime.
Ilgesnė stabdymo trukmė tą patį impulsą leidžia pasiekti mažesne vidutine jėga.

Savikontrolė

Kuo jėgos impulsas skiriasi nuo jėgos?
Kodėl atšokant $|\Delta p|$ gali būti didesnis negu sustojant?
Kada leidžiama taikyti judesio kiekio tvermę?
Kur dingsta kinetinė energija netampriame susidūrime?
Ką reiškia pasirašytas plotas po $F(t)$ grafiku?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančio 25 priedo tikslus §30.2.3 tekstas apie $p(t)$ ir $F(t)$ grafikus, smūgių rūšis, tvermės bandymus, reaktyvųjį judėjimą ir K. Semenavičiaus darbus.
PHY-SRC-BP-V1269 – įsakymo suvestinės normatyvinis kontekstas.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus mechanikos turinio atvaizdavimas.
PHY-SRC-VDU-SEMENAVICIUS – VDU DSpace-CRIS metaduomenų įrašas apie K. Semenavičiaus „Didįjį artilerijos meną“: 1650 m. leidimą ir daugiapakopės raketos principą.