Gravitacija, tamprumas ir trintis

Mokymosi tikslai

Taikyti visuotinės traukos dėsnį ir gravitacinio lauko stiprio ryšį.
Skirti sunkio jėgą, svorį ir atramos reakciją.
Susieti įcentrinį pagreitį su apskritiminiam judėjimui reikalinga atstojamąja.
Taikyti Huko dėsnį tamprumo ribose.
Skirti rimties ir slydimo trintį bei vertinti jų modelio ribas.

Prisimink

Gravitacija, tamprumas ir trintis yra sąveikos, o ne papildomos „judėjimo rūšys“. Laisvojo kūno diagramoje piešiamos konkrečios jėgos. „Įcentrinė jėga“ nėra nauja sąveika – taip vadinama į centro pusę nukreipta realių jėgų atstojamoji.

Sąvokos ir simboliai

$G$ – visuotinės traukos konstanta; skaitinę vertę naudokite tik pateiktą užduotyje ar oficialiame priede.
$g$ – gravitacinio lauko stipris arba laisvojo kritimo pagreičio modulis, $\text{N/kg}=\text{m/s}^2$ .
Sunkio jėga – Žemės gravitacinė jėga kūnui.
Svoris – jėga, kuria kūnas veikia atramą ar pakabą.
$k$ – spyruoklės standumo koeficientas, $\text{N/m}$ .
$\mu_s$ , $\mu_k$ – rimties ir slydimo trinties koeficientai.

Teorija: gravitacija ir apskritiminis judėjimas

Dvi taškinės arba sferiškai simetriškos masės traukia viena kitą:

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}.$

Gravitacinio lauko stipris atstumu $r$ nuo sferiškai simetriško kūno centro:

$g(r)=G\frac{M}{r^2}.$

Netoli Žemės paviršiaus mažame aukščio intervale $g$ dažnai laikomas pastoviu ir $F_g=mg$ .

Tolygiai apskritimu judančio kūno greičio modulis pastovus, bet kryptis kinta:

$a_c=\frac{v^2}{r}=\omega^2r,$

$\sum F_{\text{į centrą}}=m\frac{v^2}{r}.$

Orbita yra nuolatinis laisvasis kritimas: gravitacija keičia greičio kryptį.

Formulės ir SI: tamprumas

Huko dėsnis vienmačiam idealiam spyruoklės modeliui:

$F_s=-kx.$

Minusas rodo, kad tamprumo jėga nukreipta prieš deformaciją. Moduliams $F_s=k|x|$ . Dėsnis galioja tik tamprumo ir apytikriai tiesinio atsako srityje. Viršijus tamprumo ribą gali likti liekamoji deformacija.

Trintis

Rimties trintis prisitaiko iki didžiausios vertės:

$0\le F_{tr,s}\le\mu_sN.$

Ji ne visada lygi $\mu_sN$ . Slydimo trinties paprastame modelyje:

$F_{tr,k}=\mu_kN,$

ir nukreipta prieš paviršių santykinį slydimą. Koeficientai yra empiriniai, priklauso nuo paviršių ir sąlygų; modelis nėra universalus visiems greičiams, tepalams ar minkštoms medžiagoms.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Gravitacinio lauko kitimas

Duota. Aukštyje, kuriame atstumas iki Žemės centro yra $2R$ , palyginti $g'$ su paviršiaus $g$ .

Rasti. Bedimensį santykį $g'/g$ ir išreikšti $g'$ per $g$ .

Modelis ir sąlygos. Žemę laikome sferiškai simetriška, nagrinėjamas taškas yra už jos paviršiaus, o kitų dangaus kūnų laukų nepaisome. Abiem atvejais taikome $g(r)=GM/r^2$ su atstumu iki centro, ne aukščiu virš paviršiaus.

Vienetai. Santykyje $GM/r^2$ vienetai $\text{m/s}^2$ susiprastina; $g'/g$ yra bedimensis.

Skaičiavimas.

$\frac{g'}{g}=\frac{GM/(2R)^2}{GM/R^2}=\frac14.$

Atsakymas. $g'=g/4$ . Aukštis virš paviršiaus šiuo atveju yra $R$ , ne $2R$ .

Patikra. Atstumą iki centro padidinus du kartus, atvirkštinio kvadrato dėsnis numato keturis kartus silpnesnį lauką. $g'>0$ ir $g'<g$ , kaip fiziškai tikėtina tolstant nuo Žemės.

2. Posūkio trintis

Duota. Automobilis horizontaliame posūkyje juda $v=12\ \text{m/s}$ , spindulys $r=40\ \text{m}$ , $g=9{,}8\ \text{m/s}^2$ . Rasti mažiausią rimties trinties koeficientą neslysti.

Rasti. Mažiausią rimties trinties koeficientą, kad automobilis neslystų į šoną.

Modelis ir sąlygos. Kelias horizontalus, automobilio greičio modulis pastovus, aerodinaminių šoninių jėgų nepaisome. Įcentrinę atstojamąją sudaro rimties trintis, o $N=mg$ ; ties slydimo riba $F_{tr,s}=\mu_sN$ .

Vienetai. $v^2/(rg)$ turi $(\text{m}^2/\text{s}^2)/(\text{m}^2/\text{s}^2)=1$ , todėl trinties koeficientas bedimensis.

Skaičiavimas. Trintis sudaro įcentrinę atstojamąją:

$\mu_smg\ge m\frac{v^2}{r},$

$\mu_s\ge\frac{v^2}{rg}=\frac{144}{40\cdot9{,}8}=0{,}367.$

Atsakymas. Bent apie $0{,}37$ pagal paprastą modelį.

Patikra. Reikalingas įcentrinis pagreitis $v^2/r=3{,}6\ \text{m/s}^2$ , o $0{,}367g\approx3{,}60\ \text{m/s}^2$ . Koeficientas teigiamas ir mažesnis už vienetą — įmanoma dydžio eilė, nors reali reikšmė priklauso nuo padangų ir kelio.

3. Spyruoklė

Duota. Spyruoklę $12\ \text{N}$ jėga pailgina $3{,}0\ \text{cm}$ tiesinėje srityje.

Rasti. Spyruoklės standumo koeficientą ir jėgą, kuri pagal tą patį modelį pailgintų ją $5{,}0\ \text{cm}$ .

Modelis ir sąlygos. Taikome Huko dėsnio modulių formą $F=kx$ tik tiesinėje tamprumo srityje. Spyruoklės masės, histerezės ir pradinio įtempimo nepaisome; antroji prognozė galioja tik neviršijus tos pačios srities.

Vienetai. $3{,}0\ \text{cm}=0{,}030\ \text{m}$ ir $5{,}0\ \text{cm}=0{,}050\ \text{m}$ ; $k$ vienetas $\text{N/m}$ .

Skaičiavimas.

$k=\frac{F}{x}=\frac{12}{0{,}030}=400\ \text{N/m}.$

Kad pailgėtų $5{,}0\ \text{cm}$ , modelis prognozuoja $F=400\cdot0{,}050=20\ \text{N}$ , jei neviršyta tiesinė sritis.

Atsakymas. $k=400\ \text{N/m}$ ; prognozė $20\ \text{N}$ su nurodyta sąlyga.

Patikra. $400\ \text{N/m}\cdot0{,}030\ \text{m}=12\ \text{N}$ atkuria pradinį duomenį. Pailgėjimas padidėjo santykiu $5/3$ , todėl ir jėga $12\cdot5/3=20\ \text{N}$ — tiesiniam modeliui tai logiška.

4. Slydimas su trintimi

Duota. $m=4{,}0\ \text{kg}$ kūną horizontaliai traukia $18\ \text{N}$ , $\mu_k=0{,}25$ , $g=9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Rasti. Kūno pagreitį, kai jis jau slysta traukimo kryptimi.

Modelis ir sąlygos. Traukimo jėga horizontali, paviršius horizontalus, todėl vertikaliai $N=mg$ . Taikome pastovios slydimo trinties modelį $F_{tr,k}=\mu_kN$ ; oro pasipriešinimo ir greičio priklausomybės nepaisome.

Vienetai. Masė ir $g$ duoda niutonus, o atstojamąją padalijus iš kilogramų gauname $\text{m/s}^2$ .

Skaičiavimas. $N=mg=39{,}2\ \text{N}$ , todėl

$F_{tr}=0{,}25\cdot39{,}2=9{,}8\ \text{N},$

$a=\frac{18-9{,}8}{4{,}0}=2{,}05\ \text{m/s}^2.$

Atsakymas. $a\approx2{,}1\ \text{m/s}^2$ traukimo kryptimi.

Patikra. Trintis $9{,}8\ \text{N}$ mažesnė už traukimo $18\ \text{N}$ jėgą, todėl atstojamoji $8{,}2\ \text{N}$ ir pagreitis turi būti traukimo kryptimi. $4{,}0\cdot2{,}05=8{,}2\ \text{N}$ atkuria atstojamąją.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Nesvarumas. Orbitoje astronautą ir erdvėlaivį gravitacija veikia stipriai, tačiau jie kartu laisvai krinta, todėl atramos reakcija maža. Nesvarumas nereiškia gravitacijos nebuvimo.

Rimties trintis vaikštant. Pėda stumia Žemę atgal, o Žemė dėl rimties trinties stumia pėdą pirmyn. Trintis nebūtinai priešinasi viso kūno judėjimui; ji priešinasi numanomam paviršių slydimui.

Praktinė veikla: Huko dėsnis ir trintis

Kilmė: BP_REQUIRED (§30.2.2). BP tiesiogiai reikalauja tyrinėti Huko dėsnį ir trinties jėgą bei apskaičiuoti trinties koeficientą.

Spyruoklei palaipsniui didinkite apkrovą ir po to mažinkite, kiekviename taške matuodami ilgį. Braižykite $F$ nuo $x$ , nustatykite tiesinės srities nuolydį ir ieškokite liekamosios deformacijos. Atskirame bandyme dinamometru matuokite didžiausią rimties ir vidutinę slydimo trintį tam pačiam kūnui. Niekada neviršykite spyruoklės bei dinamometro ribų; naudokite akių apsaugą.

Kiekvieną apkrovą ir trinties matavimą pakartokite bent tris kartus, nurodykite jėgos bei ilgio nuskaitymo neapibrėžtis. Huko grafike vertinkite nuolydžio intervalą; trinties koeficientui skaičiuokite $\mu=F_{tr}/N$ ir neteikite daugiau skaitmenų, nei pagrindžia prietaisai.

Dažnos klaidos

Aukštį virš paviršiaus painioti su atstumu iki planetos centro.
Svorį visada laikyti lygiu $mg$ .
„Įcentrinę jėgą“ pridėti greta jau į centrą nukreiptų realių jėgų.
Huko dėsnį taikyti už tamprumo ribos.
Rimties trintį visada prilyginti $\mu_sN$ .
Laikyti, kad $N=mg$ bet kokioje nuožulnioje ar greitėjančioje sistemoje.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Gravitacinė sąveika silpnėja pagal atstumo iki centro kvadratą.
Apskritiminiam judėjimui reikalinga į centrą nukreipta realių jėgų atstojamoji.
Huko dėsnis yra tiesinės tamprumo srities modelis.
Rimties trintis prisitaiko iki ribos, o slydimo trinties formulė yra empirinis modelis.

Savikontrolė

Kodėl orbitoje esantis kūnas nenutolsta tiesia linija?
Kuo svoris skiriasi nuo sunkio jėgos?
Kokia jėga gali būti įcentrinė horizontaliame kelio posūkyje?
Ar $F_{tr,s}$ visada lygi $\mu_sN$ ?
Kaip grafiku nustatyti spyruoklės standumą?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančio 25 priedo tikslus §30.2.2 tekstas apie visuotinę trauką, pagreitintą svorį, Huko ir trinties tyrimus bei nuožulniąją plokštumą.
PHY-SRC-BP-V1269 – įsakymo suvestinės normatyvinis kontekstas.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus 11 klasės mechanikos turinio atvaizdavimas.