Mikro- ir makropasaulio ryšys

Mokymosi tikslai

Paaiškinti makroskopinius slėgio ir temperatūros dydžius dalelių modeliu.
Susieti medžiagos kiekį, dalelių skaičių ir molinę masę.
Skirti temperatūrą nuo vidinės energijos ir šilumos.
Interpretuoti Brauno judėjimą bei difuziją kaip dalelių judėjimo įrodymus.
Nurodyti idealiosios dujos ir paprasto kinetinio modelio ribas.

Prisimink

Medžiaga sudaryta iš nuolat judančių dalelių. Makroskopinis dydis aprašo didžiulio dalelių skaičiaus bendrą elgesį; jis paprastai nenusako vienos konkrečios dalelės būsenos.

Sąvokos ir simboliai

Makroskopinis dydis – visą sistemą apibūdinantis dydis, pavyzdžiui, $p$ , $V$ , $T$ .
Mikroskopinis modelis – aiškinimas dalelių judėjimu ir sąveika.
Temperatūra $T$ – šiluminę būseną apibūdinantis dydis, SI vienetas K.
Vidinė energija $U$ – dalelių chaotiško judėjimo kinetinių ir tarpusavio sąveikos potencinių energijų suma.
Medžiagos kiekis $n$ – SI pagrindinis dydis, vienetas mol.
$N_A$ – Avogadro konstanta; skaitinę vertę naudokite pateiktą užduotyje ar priede.
$m_0$ – vienos dalelės masė, kg; $M$ – tos medžiagos molinė masė, kg/mol.
$v_{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}$ – molekulių vidutinis kvadratinis greitis, m/s; tai nėra aritmetinis greičių vidurkis.
Brauno judėjimas – skystyje ar dujose pakibusios mikrodalelės netvarkingas judėjimas dėl molekulių smūgių.

Teorija: dalelių modelis

Idealiosios dujos modeliuojamos kaip daugybė dalelių, kurių savasis tūris, palyginti su indo tūriu, nereikšmingas, tarpusavio sąveikos už susidūrimų ribų nepaisoma, o susidūrimai laikomi tampriais. Dujų slėgis atsiranda dėl dalelių judesio kiekio pokyčio atsitrenkiant į sieneles.

MKT teiginius pagrindžia ne vienas bandymas, o tarpusavyje derantys reiškiniai. Brauno judėjimas netiesiogiai parodo netvarkingus molekulių smūgius, difuzija – savaiminį dalelių maišymąsi, o dujų slėgio ir temperatūros matavimai leidžia tikrinti modelio kiekybines prognozes. Nė vienas toks stebėjimas atskirai neįrodo visų MKT prielaidų: pavyzdžiui, dažų sklidimą vandenyje gali spartinti konvekcija, todėl bandyme reikia atskirti tiesioginį rezultatą nuo jo MKT interpretacijos ir tikrinti alternatyvius paaiškinimus.

Didinant absoliučiąją temperatūrą, didėja dalelių vidutinė slenkamojo judėjimo kinetinė energija. Vienatomių idealiųjų dujų vienos dalelės vidutinė slenkamojo judėjimo kinetinė energija:

$\overline{E_k}=\frac32k_BT,$

o $N$ tokių dalelių vidinė energija

$U=\frac32Nk_BT=\frac32nRT.$

Šios konkrečios formulės netinka bet kokios struktūros realiajai medžiagai. Daugiaatomės molekulės gali turėti sukimosi ir virpėjimo energijos, o skysčiuose bei kietuose kūnuose svarbi sąveikos potencinė energija.

Vienos dalelės ir makroskopinės masės ryšiai yra

$m_0=\frac{M}{N_A},\qquad m=Nm_0,\qquad N=nN_A.$

Makroskopinis tankis sieja visų dalelių masę su užimamu tūriu:

$\rho=\frac mV=\frac{Nm_0}{V}=n_Nm_0.$

Taigi paprastame vienalytės sistemos modelyje tankį lemia dalelių skaičiaus koncentracija $n_N=N/V$ ir vienos dalelės masė $m_0$ . Šis ryšys nepasako visos realios medžiagos sandaros: skysčiuose ir kietuose kūnuose dalelių tarpai bei sąveika priklauso nuo temperatūros, slėgio ir fazės, o porėtai ar nevienalytei medžiagai reikia aiškiai nurodyti, kokio tūrio vidurkis imamas.

Šiluminėje pusiausvyroje esančių idealiųjų dujų dalelių Maksvelo greičių pasiskirstymo vidutinį kvadratinį greitį sieja

$v_{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m_0}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}.$

Tai statistinis daugelio dalelių dydis: atskiros molekulės greitis nuolat kinta, o $v_{rms}$ nėra kryptinis greitis. Formulė taikoma šiluminėje pusiausvyroje esančioms idealiosioms dujoms; arti kondensacijos ar labai dideliame slėgyje tarpmolekulinė sąveika tampa reikšminga.

Absoliutusis nulis $0\ \text{K}$ yra termodinaminės temperatūros apatinė riba. Klasikiniame idealiosios dujos modelyje $T\to0$ reiškia, kad vidutinė slenkamojo judėjimo kinetinė energija artėja prie nulio, tačiau reali medžiaga iki tol pakeičia fazę, o kvantinė sistema gali turėti nulinio taško energiją. Todėl teiginys „ties $0\ \text{K}$ visos dalelės visiškai sustoja“ nėra bendras fizikinis apibrėžimas; be to, absoliutaus nulio neįmanoma pasiekti baigtiniu procesų skaičiumi.

Formulės ir SI: medžiagos kiekis

$n=\frac{N}{N_A}=\frac{m}{M},$

kur $N$ – dalelių skaičius, $m$ – masė, $M$ – molinė masė. SI molinės masės vienetas $\text{kg/mol}$ , nors chemijoje dažnai patogu $\text{g/mol}$ ; skaičiavime vienetai turi būti suderinti.

Tankio mikro- ir makroryšis vienalytei sistemai:

$\rho=\frac mV=n_Nm_0,$

kur $\rho$ matuojamas kg/m³, $n_N$ – m⁻³, o $m_0$ – kg.

Dalelių skaičiaus koncentracija

$n_N=\frac NV$

matuojama $\text{m}^{-3}$ . Jos nereikia painioti su medžiagos kiekiu $n$ moliais. Paprastame kinetiniame idealiosios dujos modelyje slėgį su dalelių slenkamojo judėjimo energija sieja

$p=\frac23 n_N\overline{E_k}.$

Šis ryšys parodo, kad slėgis gali didėti tiek didinant dalelių koncentraciją, tiek jų vidutinę slenkamojo judėjimo energiją.

Temperatūra nėra dalelių skaičius ir nėra visos sistemos energija. Du tokios pat temperatūros skirtingos masės vandens kiekiai turi skirtingą vidinę energiją.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Dalelių skaičius

Duota. $m=18{,}0\ \text{g}$ vandens, $M=18{,}0\ \text{g/mol}$ , naudoti $N_A=6{,}022\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ .

Rasti. Medžiagos kiekį $n$ , molekulių skaičių $N$ ir vienos molekulės masę $m_0$ .

Modelis ir sąlygos. Mėginį laikome grynu vandeniu, o molinę masę ir Avogadro konstantą – nurodyto tikslumo; molekulių skaičiuje disociacijos ar priemaišų nevertiname.

Vienetai. Santykiui $m/M$ tinka tie patys gramų vienetai; dalelės masei $M=18{,}0\cdot10^{-3}\ \text{kg/mol}$ .

Skaičiavimas.

$n=\frac{m}{M}=1{,}00\ \text{mol},$

$N=nN_A=6{,}022\cdot10^{23},$

$m_0=\frac{M}{N_A}=\frac{18{,}0\cdot10^{-3}}{6{,}022\cdot10^{23}}=2{,}989\cdot10^{-26}\ \text{kg}.$

Atsakymas. $n=1{,}00\ \text{mol}$ , $N\approx6{,}02\cdot10^{23}$ , $m_0\approx2{,}99\cdot10^{-26}\ \text{kg}$ .

Patikra. Matmenys $\text{kg/mol}$ padalyti iš $\text{mol}^{-1}$ duoda kilogramus. $N$ yra Avogadro dydžio eilės, o $Nm_0=18{,}0\ \text{g}$ atkuria pradinę masę.

2. Kelvino ir Celsijaus skalės

Duota. $t=27{,}0\ ^\circ\text{C}$ .

Rasti. Absoliučiąją temperatūrą $T$ ir paaiškinti temperatūros intervalo konversiją.

Modelis ir sąlygos. Taikome Celsijaus ir Kelvino skalių apibrėžtinį poslinkį; čia konvertuojama absoliuti temperatūra, ne jos pokytis.

Vienetai. Absoliučiai temperatūrai naudojame kelvinus: $T/\text{K}=t/^{\circ}\text{C}+273{,}15$ .

Skaičiavimas.

$T=27{,}0+273{,}15=300{,}15\ \text{K}.$

Jei temperatūra padidėja $10\ ^\circ\text{C}$ , jos pokytis yra ir $10\ \text{K}$ , tačiau pradinės absoliučios vertės negalima gauti dauginant.

Atsakymas. $T=300{,}15\ \text{K}$ ; temperatūros intervalo $1\ ^\circ\text{C}$ pokytis lygus $1\ \text{K}$ , todėl, pavyzdžiui, $10\ ^\circ\text{C}$ pokytis yra $10\ \text{K}$ .

Patikra. Rezultatas didesnis už $273{,}15\ \text{K}$ , kaip turi būti teigiamai Celsijaus temperatūrai. Absoliuti vertė turi poslinkį, o $10\ ^\circ\text{C}$ intervalas tiksliai atitinka $10\ \text{K}$ intervalą.

3. Vienatomės idealiosios dujos vidinė energija

Duota. $n=2{,}0\ \text{mol}$ , $T=300\ \text{K}$ , $R=8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ .

Rasti. Vienatomių idealiųjų dujų vidinę energiją $U$ .

Modelis ir sąlygos. Dujos yra idealiosios, vienatomės ir šiluminėje pusiausvyroje; sukimosi, virpėjimo bei tarpmolekulinės potencinės energijos dėmenų nėra.

Vienetai. Visi dydžiai pateikti SI: mol, K ir $\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ .

Skaičiavimas.

$U=\frac32nRT=\frac32\cdot2{,}0\cdot8{,}314\cdot300=7482{,}6\ \text{J}.$

Atsakymas. $U\approx7{,}5\ \text{kJ}$ tik vienatomių idealiųjų dujų modeliui.

Patikra. Vienetai susiprastina iki džaulio. Vienam moliui ties $300\ \text{K}$ dydžio eilė yra keli kJ, todėl dviem moliams gauti $7{,}5\ \text{kJ}$ fiziškai tikėtina.

4. Molekulių vidutinis kvadratinis greitis

Duota. Azoto dujas laikome idealiosiomis: $T=300\ \text{K}$ , $M=28{,}0\ \text{g/mol}$ , $R=8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ .

Rasti. Molekulių vidutinį kvadratinį greitį $v_{rms}$ .

Modelis ir sąlygos. Naudojame idealiosios dujos šiluminės pusiausvyros modelį; $v_{rms}$ aprašo pasiskirstymą, o ne kiekvienos molekulės vienodą greitį.

Vienetai. Molinei masei būtini SI vienetai: $M=28{,}0\cdot10^{-3}\ \text{kg/mol}$ .

Skaičiavimas.

$v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}=\sqrt{\frac{3\cdot8{,}314\cdot300}{28{,}0\cdot10^{-3}}}=516{,}95\ \text{m/s}.$

Atsakymas. $v_{rms}\approx5{,}17\cdot10^2\ \text{m/s}$ .

Patikra. Po šaknimi $\text{J/kg}=\text{m}^2/\text{s}^2$ , todėl gaunami m/s. Kelių šimtų m/s dydžio eilė kambario temperatūros lengvoms dujoms yra tikėtina ir gerokai mažesnė už šviesos greitį.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Karšta kibirkštis ir vonia. Kibirkšties temperatūra gali būti didelė, bet jos dalelių ir bendros energijos labai mažai. Vonia žemesnės temperatūros, tačiau turi daug didesnę vidinę energiją. Temperatūra ir energija nėra tas pats.

Brauno judėjimas. Matoma mikrodalelė juda ne todėl, kad pati „gyva“, o dėl netolygiai iš skirtingų pusių ją bombarduojančių nematomų skysčio molekulių. Aukštesnėje temperatūroje judėjimas paprastai intensyvesnis.

Praktinė veikla: difuzijos duomenys

A. Kilmė: EDITORIAL. Programa reikalauja aiškintis, kokiais bandymais pagrindžiami MKT teiginiai, tačiau konkreti dviejų temperatūrų vaizdo duomenų analizė yra egzas.lt metodinis pasirinkimas, o ne BP nurodyta privaloma veikla. Iš žemiau gaunamų ar mokytojo pateiktų duomenų atskirkite tiesioginį stebėjimą (spalvotos srities padėtį ir sklaidą) nuo MKT interpretacijos, palyginkite kartojimus ir nurodykite bent vieną alternatyvų paaiškinimą, pavyzdžiui, konvekciją.

B. Kilmė: EDITORIAL. Konkretus dažų sklidimo palyginimas yra egzas.lt metodinis pasirinkimas, o ne atskirai BP ar įgyvendinimo rekomendacijose įvardyta procedūra.

Į vienodus skaidrius indus su šaltu ir šiltu vandeniu tuo pačiu metu atsargiai įlašinkite po vieną dažų lašą, nemaišydami. Vaizdo įraše sekite spalvotos srities matmenį laikui bėgant, kiekvieną matmenį kartokite bent tris kartus ir pateikite sklaidą. Temperatūrą išmatuokite saugiai, neviršykite leistinos indo temperatūros. Aptarkite sisteminę paklaidą dėl konvekcijos: šiltame vandenyje stebimas plitimas nėra vien gryna molekulinė difuzija, todėl bandymas kokybiškai palaiko dalelių judėjimo modelį, bet tiesiogiai neišmatuoja $v_{rms}$ .

Dažnos klaidos

Temperatūrą vadinti „šilumos kiekiu kūne“.
Celsijaus temperatūrų santykį naudoti molekulių energijų santykiui.
Idealiosios dujos modelį taikyti be ribų labai dideliam slėgiui ar arti fazės virsmo.
Pamiršti paversti $\text{g/mol}$ į $\text{kg/mol}$ , kai kiti dydžiai SI.
Vienatomės dujos formulę taikyti visoms dujoms ir medžiagoms.
Difuzijos bandyme neįvertinti konvekcijos.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Makroskopiniai šiluminiai dydžiai atsiranda iš daugybės dalelių statistinio elgesio.
Temperatūra siejama su dalelių energijos pasiskirstymu, bet nėra visos sistemos vidinė energija.
Medžiagos kiekis susieja makroskopinę masę su dalelių skaičiumi.
Idealiosios dujos ir vienatomės dujos formulės turi aiškias taikymo ribas.
Vienos dalelės masę su moline mase sieja $m_0=M/N_A$ , o idealiųjų dujų $v_{rms}$ priklauso nuo absoliučiosios temperatūros ir dalelės masės.

Savikontrolė

Kaip mikroskopiškai atsiranda dujų slėgis?
Kodėl energijų santykiui būtina Kelvino skalė?
Kuo temperatūra skiriasi nuo vidinės energijos?
Kokios yra pagrindinės idealiosios dujos prielaidos?
Ką Brauno judėjimas rodo apie medžiagos sandarą?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 – Fizikos bendrosios programos 25 priedo §30.4 mikro- ir makropasaulio ryšio reikalavimai.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančios suvestinės 25 priedo §30.4.1 pažodinis normatyvinis tekstas.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus šiluminių reiškinių turinio atvaizdavimas.