Dujų būsenos dydžiai ir dėsniai

Mokymosi tikslai

Naudoti slėgį, tūrį, absoliučiąją temperatūrą ir medžiagos kiekį dujų būsenai aprašyti.
Taikyti idealiosios dujos būsenos lygtį.
Atpažinti izoterminį, izobarinį ir izochorinį procesus bei jų grafikus.
Pereiti tarp dviejų tos pačios uždaros dujų porcijos būsenų.
Įvertinti realiųjų dujų nukrypimo nuo idealaus modelio sąlygas.

Prisimink

Slėgis yra statmenai paviršių veikiančios jėgos ir ploto santykis, $p=F_\perp/S$ . Dujų dėsniuose temperatūra privalo būti absoliučioji, o uždarai dujų porcijai dalelių skaičius nekinta.

Sąvokos ir simboliai

$p$ – absoliutusis slėgis, SI vienetas Pa.
$V$ – tūris, SI vienetas $\text{m}^3$ .
$T$ – termodinaminė temperatūra, K.
$n$ – medžiagos kiekis, mol.
$R$ – universalioji dujų konstanta; naudokite užduotyje ar priede nurodytą vertę.
Izoterminis procesas – $T=\text{const}$ .
Izobarinis procesas – $p=\text{const}$ .
Izochorinis procesas – $V=\text{const}$ .

Teorija: idealiosios dujos modelis

$pV=nRT.$

Tai būsenos, o ne proceso lygtis: ji galioja kiekvienai pusiausvirai idealiosios dujos būsenai. Tai pačiai uždarai porcijai:

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}.$

Ši kombinuotoji forma netinka, jei tarp būsenų dujų kiekis pasikeičia.

Idealiosios dujos modelis apytikriai tinka retoms, mažo tankio dujoms, kai molekulių savasis tūris ir tarpusavio sąveikos, palyginti su judėjimo energija, yra nereikšmingi. Praktikoje artėjama prie šios ribos mažinant slėgį ir didinant temperatūrą. Esant dideliam slėgiui, žemai temperatūrai arba arti kondensacijos dalelių tūris bei traukos sąveikos tampa svarbios, todėl $pV=nRT$ nebeturi būti laikoma tikslia realiųjų dujų lygtimi. Šios sąlygos yra modelio galiojimo ribos, o ne naujas universalus slėgio ar temperatūros slenkstis.

Izoprocesų ryšiai uždarai porcijai:

$T=\text{const}:\quad pV=\text{const},$

$p=\text{const}:\quad \frac VT=\text{const},$

$V=\text{const}:\quad \frac pT=\text{const}.$

$p(V)$ izotermė yra hiperbolė. $V(T)$ izobara ir $p(T)$ izochora Kelvino skalėje yra tiesės, kurių idealus pratęsimas eina per pradžią. Ekstrapoliuoti iki $0\ \text{K}$ kaip realų eksperimentą negalima.

Trijų izoprocesų grafikai: p nuo V izotermė yra hiperbolė, V nuo T izobara ir p nuo T izochora Kelvino skalėje yra tiesės; visose ašyse pažymėti dydžiai ir SI vienetai

Formulės ir SI: būsenos lygtis ir slėgis

Absoliutusis slėgis matuojamas nuo vakuumo. Manometrinis slėgis yra skirtumas:

$p_{man}=p_{abs}-p_{atm}.$

Dujų būsenos lygtyje naudojamas absoliutusis slėgis. Standartinės atmosferos skaitinės vertės nereikia spėti – ji pateikiama, jei būtina skaičiavimui.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Medžiagos kiekis inde

Duota. $p=1{,}00\cdot10^5\ \text{Pa}$ , $V=0{,}0240\ \text{m}^3$ , $T=300\ \text{K}$ , $R=8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ .

Rasti. Inde esančių idealiųjų dujų medžiagos kiekį $n$ .

Modelis ir sąlygos. Dujos yra pusiausviros ir pakankamai retos idealiosios dujos; $p$ yra absoliutusis slėgis, o dujų kiekis skaičiavimo metu nekinta.

Vienetai. Visi dydžiai jau SI: Pa, $\text{m}^3$ , K ir $\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ .

Skaičiavimas.

$n=\frac{pV}{RT}=\frac{1{,}00\cdot10^5\cdot0{,}0240}{8{,}314\cdot300}=0{,}96223\ \text{mol}.$

Atsakymas. Apie $0{,}962\ \text{mol}$ idealiųjų dujų.

Patikra. $\text{Pa}\cdot\text{m}^3=\text{J}$ , todėl santykis duoda molius. Maždaug 24 L dujų ties 300 K ir artimu atmosferiniam slėgiu tūris yra apie vieno molio dydžio, tad rezultatas prasmingas.

2. Izoterminis suspaudimas

Duota. $p_1=100\ \text{kPa}$ , $V_1=2{,}0\ \text{L}$ , $V_2=0{,}80\ \text{L}$ , temperatūra ir dujų kiekis nekinta.

Rasti. Galutinį absoliutųjį slėgį $p_2$ .

Modelis ir sąlygos. Uždara dujų porcija suspaudžiama lėtai, temperatūra išlieka pastovi, dujos idealiosios ir abi būsenos pusiausviros.

Vienetai. Tūrių konvertuoti nereikia, nes formulėje naudojamas vienodais vienetais išreikštas santykis $V_1/V_2$ .

Skaičiavimas.

$p_2=p_1\frac{V_1}{V_2}=100\cdot\frac{2{,}0}{0{,}80}=250\ \text{kPa}.$

Tūriai gali likti litrais, nes naudojamas jų santykis.

Atsakymas. $250\ \text{kPa}$ absoliutusis slėgis, jei pradinis taip pat absoliutusis.

Patikra. Tūris sumažėjo $2{,}5$ karto, todėl izotermiškai slėgis turi padidėti tiek pat; $p_1V_1=p_2V_2=200\ \text{kPa}\cdot\text{L}$ patvirtina ryšį, o dydžio eilė fiziškai prasminga.

3. Izochorinis kaitinimas

Duota. Uždaro standaus indo dujos: $p_1=120\ \text{kPa}$ , $t_1=20\ ^\circ\text{C}$ , $t_2=80\ ^\circ\text{C}$ .

Rasti. Galutinį absoliutųjį dujų slėgį $p_2$ .

Modelis ir sąlygos. Indas standus ir uždaras, tad $V$ ir dalelių skaičius pastovūs; dujos idealiosios, o slėgiai yra absoliutieji.

Vienetai. Santykiui būtinos absoliučios temperatūros: $T_1=293{,}15\ \text{K}$ ir $T_2=353{,}15\ \text{K}$ .

Skaičiavimas.

$p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}=120\cdot\frac{353{,}15}{293{,}15}=144{,}561\ \text{kPa}.$

Atsakymas. Apie $145\ \text{kPa}$ .

Patikra. Absoliučioji temperatūra padidėjo apie 20,5 %, todėl tokį pat santykinį slėgio padidėjimą iki maždaug 145 kPa numato izochorinis modelis; rezultatas nėra keturis kartus didesnis.

4. Būsenos kitimas

Duota. $p_1=90\ \text{kPa}$ , $V_1=3{,}0\ \text{L}$ , $T_1=300\ \text{K}$ ; po proceso $V_2=2{,}0\ \text{L}$ , $T_2=360\ \text{K}$ .

Rasti. Antrosios būsenos absoliutųjį slėgį $p_2$ .

Modelis ir sąlygos. Lyginame dvi tos pačios uždaros idealiosios dujų porcijos pusiausvyros būsenas; tarp būsenų dujų nepridedama ir neišleidžiama.

Vienetai. Tūriai pateikti vienodais vienetais, temperatūros – kelvinais, todėl santykiuose papildomos konversijos nereikia.

Skaičiavimas. Uždaram kiekiui:

$p_2=p_1\frac{V_1T_2}{T_1V_2}=90\cdot\frac{3{,}0\cdot360}{300\cdot2{,}0}=162\ \text{kPa}.$

Atsakymas. $162\ \text{kPa}$ .

Patikra. Suspaudimas vienas didintų slėgį $1{,}5$ karto, kaitinimas – dar $1{,}2$ karto; bendras $1{,}8$ santykis duoda $90\cdot1{,}8=162\ \text{kPa}$ , todėl ženklas ir dydžio eilė logiški.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Uždaras aerozolinis balionėlis. Šildant standų uždarą indą tūris nekinta, dalelės juda intensyviau, todėl slėgis didėja. Dėl saugos balionėlių kaitinti negalima.

Švirkštas. Lėtai suspaudžiant užkimštą švirkštą aplinka gali spėti išlyginti temperatūrą ir procesas artėja prie izoterminio. Greitai suspaudžiant dujos sušyla, todėl vien $pV=\text{const}$ gali netikti.

Praktinė veikla: Boyle'o modelis

Kilmė: BP_REQUIRED (§30.4.1). BP tiesiogiai leidžia laboratorine įranga arba virtualiu įrankiu tyrinėti $p$ , $V$ ir $T$ ryšius. IR_RECOMMENDED papildomai siūlo bendrą laboratorinį arba virtualų P–V–T ir izoterminio proceso tyrimą (IR p. 7 ir 27). Toliau pateiktas konkretus švirkšto, jutiklių, šešių tūrių ir „negyvojo“ tūrio procedūros dizainas yra EDITORIAL egzas.lt realizacija, o ne pažodinis IR protokolas.

Naudokite užkimštą be adatos švirkštą ir absoliučiojo slėgio bei temperatūros jutiklius. Lėtai nustatykite bent šešis tūrius, kiekvieną rodmenį kartokite ir įrašykite $u(V)$ , $u(p)$ bei temperatūros sklaidą. Braižykite $p$ nuo $1/V$ su paklaidų juostomis ir tikrinkite tiesiškumą; atskirai aptarkite „negyvąjį“ jungties tūrį kaip sisteminę neapibrėžtį. Neverskite stūmoklio už saugaus diapazono ir neviršykite jutiklio slėgio ribos. Jei temperatūra pastebimai kinta, duomenų nevadinkite izoterminiu procesu.

Dažnos klaidos

Dujų dėsnio santykiuose naudoti Celsijaus temperatūrą.
Supainioti manometrinį ir absoliutųjį slėgį.
Kombinuotąjį dėsnį taikyti, kai dujos išteka.
Tūrio konversijoje painioti litrą ir kubinį metrą: $1\ \text{L}=10^{-3}\ \text{m}^3$ .
Laikyti, kad bet koks lėtas procesas savaime yra izoterminis.
Idealų modelį ekstrapoliuoti iki kondensacijos ar labai didelio slėgio.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Idealiosios dujos būseną sieja $pV=nRT$ .
Izoprocesų dėsniai yra būsenos lygties atvejai uždarai dujų porcijai.
Dujų dėsniais naudojama Kelvino skalė ir absoliutusis slėgis.
Realiųjų dujų nukrypimai didėja, kai dalelių tūris ir sąveika tampa reikšmingi.

Savikontrolė

Kodėl $pV/T=\text{const}$ netinka pradūrus indą?
Kokią temperatūros skalę privalu naudoti santykiuose?
Kuo manometrinis slėgis skiriasi nuo absoliutaus?
Kokia $p(V)$ izotermės forma?
Kodėl greitas švirkšto suspaudimas gali nebūti izoterminis?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 – Fizikos bendrosios programos 25 priedo §30.4 dujų būsenos ir izoprocesų reikalavimai.
PHY-SRC-BP-V861-2024 – 2024 m. Fizikos bendrosios programos 25 priedo pakeitimas, taikomas aktyviai redakcijai.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – galiojančios suvestinės 25 priedo §30.4.1 pažodinis normatyvinis tekstas.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus termodinamikos turinio atvaizdavimas.
PHY-SRC-IR-2025 – metodinės rekomendacijos dujų dėsnių tyrimams.