Šviesos kvantai ir fotoefektas

Mokymosi tikslai

Apskaičiuoti fotono energiją ir judesio kiekį iš dažnio arba bangos ilgio.
Paaiškinti šviesos ir medžiagos dalelių banginių bei dalelinių savybių pasireiškimą.
Atskirti išorinį ir vidinį fotoefektą, paaiškinti puslaidininkinio fotoelemento veikimą.
Taikyti Einšteino fotoefekto lygtį, išlaisvinimo darbą, raudonąją ribą ir stabdymo įtampą.
Eksperimento duomenimis nustatyti Planko konstantą ir įvertinti neapibrėžtį bei modelio ribas.

Prisimink

Interferencija, difrakcija ir poliarizacija rodo bangines šviesos savybes. Fotoefektui paaiškinti reikia kvantinio energijos perdavimo modelio. Tai nėra pasirinkimas „šviesa yra tik banga“ arba „šviesa yra tik dalelių srautas“: kuris požymis išryškėja, priklauso nuo matavimo sąrangos, o kvantinis objektas nėra klasikinė banga ar klasikinė dalelė.

Sąvokos ir simboliai

Fotonas – elektromagnetinio lauko energijos kvantas.
$h$ – Planko konstanta; tiksli SI apibrėžimo reikšmė $6{,}62607015\cdot10^{-34}\ \text{J·s}$ .
Išlaisvinimo darbas $A_{\text{iš}}$ – mažiausia energija elektronui iš medžiagos paviršiaus išlaisvinti.
Ribinis dažnis $f_0$ ir raudonoji riba $\lambda_{\max}$ – išorinio fotoefekto slenkstis.
$K_{\max}$ – didžiausia fotoelektronų kinetinė energija; $U_s$ – stabdymo įtampa.
Vidinis fotoefektas – šviesos sukurtas krūvininkų skaičiaus ar jų būsenos pokytis medžiagos viduje.
Elektronvoltas: $1\ \text{eV}=1{,}602176634\cdot10^{-19}\ \text{J}$ .

Teorija

Fotonas ir šviesos dualumas

Vieno fotono energija ir judesio kiekio modulis vakuume:

$E=hf=\frac{hc}{\lambda},\qquad p=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda}.$

Ryšys $E=pc$ gaunamas ne vien paskelbiant rezultatą. Vakuume $c=f\lambda$ , todėl

$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{hf}{f\lambda}=\frac{E}{c},\qquad \boxed{E=pc}.$

Šis išvedimas remiasi fotono kvantinėmis lygtimis $E=hf$ , $p=h/\lambda$ ir šviesos sklidimo vakuume ryšiu $c=f\lambda$ ; terpėje impulso aprašymui tokio trumpo išvedimo be papildomų sąlygų netaikome.

Didesnio dažnio fotonas turi didesnę energiją. Didesnis šviesos intensyvumas esant tam pačiam dažniui paprastai reiškia daugiau fotonų per laiką ir plotą, o ne didesnę kiekvieno fotono energiją. Formulę $p=h/\lambda$ šioje pamokoje taikome bangos ilgiui vakuume; impulso aprašymas medžiagoje priklauso nuo to, kokios sistemos impulsą nagrinėjame.

Interferencijos eksperimente pavieniai fotonų registravimo įvykiai yra lokalūs, tačiau ilgainiui jų tikimybių pasiskirstymas sudaro interferencinį vaizdą. Fotoefekte energija taip pat perduodama atskirais kvantais. Tai yra skirtingi tos pačios kvantinės teorijos matavimo rezultatai, ne fotono „persijungimas“ tarp dviejų klasikinių pavidalų.

Medžiagos dalelėms taip pat būdingos banginės savybės. De Broilio ryšys

$\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{h}{p}$

sieja dalelės judesio kiekį su bangos ilgiu. Elektronų difrakcija kristale atskleidžia banginį pasireiškimą, o pavienis elektrono registravimas detektoriuje – lokalų dalelinį įvykį. Kuo didesnis makroskopinio kūno impulsas, tuo mažesnis jo de Broilio bangos ilgis ir tuo sunkiau pastebėti banginius reiškinius.

Išorinis fotoefektas

Supaprastintame Einšteino modelyje vienas fotonas visą energiją perduoda vienam elektronui:

$hf=A_{\text{iš}}+K_{\max}.$

Jeigu $hf<A_{\text{iš}}$ , vienfotonio išorinio fotoefekto nėra, net didinant nepakankamo dažnio šviesos intensyvumą. Jei $f>f_0$ , dažnis lemia $K_{\max}$ , o intensyvumas pirmiausia keičia išlekiančių elektronų skaičių ir soties srovę. Stabdymo įtampa parenkama taip, kad net greičiausi fotoelektronai nepasiektų kolektoriaus:

$K_{\max}=eU_s.$

Slenksčiui:

$hf_0=A_{\text{iš}},\qquad \lambda_{\max}=\frac{hc}{A_{\text{iš}}}.$

Realus paviršius gali būti užterštas, turėti nevienodų kristalinių sričių ir kontaktinį potencialą. Todėl paprasta tiesė aprašo idealizuotą energijos ribą, o matavimo taškai turi sklaidą.

Vidinis fotoefektas ir puslaidininkinis fotoelementas

Išorinio fotoefekto metu elektronas palieka medžiagą. Vidinio fotoefekto metu sugertas fotonas pakeičia krūvininkų būseną medžiagos viduje. Puslaidininkyje fotonas, kurio energija ne mažesnė už draustinės juostos plotį $E_g$ , gali sukurti elektrono ir skylės porą. Ne kiekvienas sugertas fotonas duoda surenkamą krūvį: dalis porų rekombinuoja, o per didelė fotono energija gali virsti gardelės šiluma.

Fotovoltiniame elemente $p$ – $n$ sandūros vidinis elektrinis laukas atskiria fotogeneruotus elektronus ir skyles. Išorinėje grandinėje atsiranda srovė, o atviros grandinės gnybtuose – įtampa. Fotolaidyje apšvietimas keičia laidumą, tačiau išoriniam signalui paprastai reikia maitinimo šaltinio. Tai du skirtingi vidinio fotoefekto taikymai.

Fotosintezėje fotoną sugeria pigmentas, susidaro sužadintoji būsena ir inicijuojamas elektronų perdavimas reakcijų centre; šviesos energija toliau verčiama chemine energija. Bendrosios programos kontekste tai aptariama kaip vidinio, fotocheminio fotoefekto pavyzdys. Svarbi riba: tai nėra elektrono išlėkimas iš metalo paviršiaus, todėl Einšteino išorinio fotoefekto lygties fotosintezei tiesiogiai netaikome.

Rimties energija ir bangos–dalelės ryšys

Nejudantis kūnas vis tiek turi rimties energiją:

$E_0=m_0c^2.$

Ji yra visos sistemos energijos dalis. Cheminiuose ar branduoliniuose virsmuose energijos pokytį atitinka sistemos rimties masės pokytis $\Delta E=\Delta m\,c^2$ , tačiau tai nereiškia, kad izoliuoto kūno visa masė savaime gali virsti laisva energija. Fotonas neturi rimties sistemos ir jo rimties masė lygi nuliui, bet jis turi energiją bei impulsą.

Planko konstantos nustatymas

Iš

$U_s=\frac{h}{e}f-\frac{A_{\text{iš}}}{e}$

matyti, kad $U_s(f)$ grafiko nuolydis $a=h/e$ . Tiesės sankirta su dažnio ašimi idealiame modelyje duoda $f_0$ . Planko konstantą reikia vertinti iš kelių taškų tiesinės regresijos; nuolydžio neapibrėžtis perduodama taip: $u(h)=e\,u(a)$ , nes $e$ SI sistemoje yra tiksli konstanta.

Formulės ir SI vienetai

$E=hf=hc/\lambda$ ; energija – J arba eV, dažnis – Hz, $\lambda$ – m.
$p=h/\lambda=E/c$ ; SI vienetas kg·m/s.
$\lambda_{\mathrm{dB}}=h/p$ materialiajai dalelei.
$hf=A_{\text{iš}}+K_{\max}$ ; visi dėmenys turi būti tais pačiais energijos vienetais.
$K_{\max}=eU_s$ ; elektronui skaitinė energija eV lygi stabdymo įtampai voltais.
$f_0=A_{\text{iš}}/h$ , $\lambda_{\max}=hc/A_{\text{iš}}$ .
$E_0=m_0c^2$ ; masė – kg, energija – J.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Regimosios šviesos fotono energija ir impulsas

Duota. $\lambda=500\ \text{nm}$ ; $h=6{,}62607015\cdot10^{-34}\ \text{J·s}$ ; $c=2{,}99792458\cdot10^8\ \text{m/s}$ .

Rasti. Fotono energiją $E$ džauliais bei elektronvoltais ir impulso modulį $p$ .

Modelis ir sąlygos. Naudojame vieno fotono modelį ir bangos ilgį vakuume. Terpės lūžio rodiklis bei pluošto intensyvumas šiam skaičiavimui nereikalingi.

Vienetai. $500\ \text{nm}=5{,}00\cdot10^{-7}\ \text{m}$ ; $1\ \text{eV}=1{,}602176634\cdot10^{-19}\ \text{J}$ .

Skaičiavimas. Neapvalindami tarpinių rezultatų gauname

$E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(6{,}62607015\cdot10^{-34})(2{,}99792458\cdot10^8)}{5{,}00\cdot10^{-7}}=3{,}972891714\cdot10^{-19}\ \text{J},$

$E=\frac{3{,}972891714\cdot10^{-19}}{1{,}602176634\cdot10^{-19}}=2{,}479683969\ \text{eV},$

$p=\frac{E}{c}=1{,}32521403\cdot10^{-27}\ \text{kg·m/s}.$

Atsakymas. $E\approx3{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}48\ \text{eV}$ , $p\approx1{,}33\cdot10^{-27}\ \text{kg·m/s}$ .

Patikra. $\text{J·s}/\text{m}=\text{kg·m/s}$ , todėl impulso vienetai teisingi. Maždaug $2{,}5\ \text{eV}$ yra tikėtina regimosios šviesos fotono energijos dydžio eilė.

2. Fotoelektronų energija ir stabdymo įtampa

Duota. $\lambda=400\ \text{nm}$ , $A_{\text{iš}}=2{,}20\ \text{eV}$ ; užduotyje leidžiama $hc=1239{,}841984\ \text{eV·nm}$ .

Rasti. $K_{\max}$ ir stabdymo įtampą $U_s$ .

Modelis ir sąlygos. Taikome vienfotonį išorinį fotoefektą švariam paviršiui. Skaičiuojame didžiausią, ne vidutinę fotoelektronų energiją.

Vienetai. Visas energijas paliekame eV; elektronui $K_{\max}$ skaitinė reikšmė eV atitinka $U_s$ voltais, nes $1\ \text{eV}=e\cdot1\ \text{V}$ .

Skaičiavimas. Fotono energija

$E_\gamma=\frac{1239{,}841984}{400}=3{,}09960496\ \text{eV}.$

Kadangi $E_\gamma>A_{\text{iš}}$ , fotoefektas galimas:

$K_{\max}=3{,}09960496-2{,}20=0{,}89960496\ \text{eV},$

$U_s=\frac{K_{\max}}e=0{,}89960496\ \text{V}.$

Atsakymas. $K_{\max}\approx0{,}900\ \text{eV}$ , $U_s\approx0{,}900\ \text{V}$ .

Patikra. Kinetinė energija teigiama ir mažesnė už fotono energiją; energijos balansas $2{,}20+0{,}8996\approx3{,}0996\ \text{eV}$ išlaikytas.

3. Fotoefekto raudonoji riba

Duota. $A_{\text{iš}}=2{,}50\ \text{eV}$ ; $hc=1239{,}841984\ \text{eV·nm}$ .

Rasti. Didžiausią bangos ilgį $\lambda_{\max}$ , dar galintį sukelti vienfotonį išorinį fotoefektą.

Modelis ir sąlygos. Ties slenksčiu $K_{\max}=0$ . Paviršiaus būklės ir kontaktinio potencialo poveikio šiame idealiame modelyje nepaisome.

Vienetai. Naudojant $hc$ vienetais eV·nm ir darbą eV, bangos ilgis gaunamas nm.

Skaičiavimas.

$\lambda_{\max}=\frac{hc}{A_{\text{iš}}}=\frac{1239{,}841984\ \text{eV·nm}}{2{,}50\ \text{eV}}=495{,}9367936\ \text{nm}.$

Ilgesnio bangos ilgio fotono energija būtų mažesnė už $2{,}50\ \text{eV}$ .

Atsakymas. $\lambda_{\max}\approx496\ \text{nm}$ .

Patikra. Vienetai susiprastina iki nm. Didėjant išlaisvinimo darbui riba turi trumpėti; atvirkštinė formulės priklausomybė šią fizikinę tendenciją atitinka.

4. Planko konstanta ir jos neapibrėžtis iš regresijos

Duota. Fotoelemento $U_s(f)$ tiesinės regresijos nuolydis $a=(4{,}14\pm0{,}08)\cdot10^{-15}\ \text{V·s}$ ; $e=1{,}602176634\cdot10^{-19}\ \text{C}$ .

Rasti. Eksperimentinę $h$ reikšmę, standartinę neapibrėžtį ir santykinį nuokrypį nuo SI reikšmės.

Modelis ir sąlygos. Laikome, kad tirtame dažnių intervale Einšteino lygtis duoda tiesinę $U_s(f)$ priklausomybę. Naudojame regresijos nuolydį, o ne du pasirinktus taškus; $e$ laikoma tikslia SI konstanta.

Vienetai. $\text{C·V}=\text{J}$ , todėl $e a$ vienetas yra J·s.

Skaičiavimas.

$h=ea=(1{,}602176634\cdot10^{-19})(4{,}14\cdot10^{-15})=6{,}633011265\cdot10^{-34}\ \text{J·s}.$

Neapibrėžtis

$u(h)=e\,u(a)=(1{,}602176634\cdot10^{-19})(0{,}08\cdot10^{-15})=1{,}281741307\cdot10^{-35}\ \text{J·s}.$

Su neapibrėžtimi suderintas užrašas yra $h=(6{,}63\pm0{,}13)\cdot10^{-34}\ \text{J·s}$ . Santykinis centrinės reikšmės nuokrypis nuo $6{,}62607015\cdot10^{-34}\ \text{J·s}$ yra $0{,}105\%$ .

Atsakymas. $h=(6{,}63\pm0{,}13)\cdot10^{-34}\ \text{J·s}$ , o centrinės reikšmės santykinis nuokrypis nuo SI vertės yra $0{,}105\%$ ; jis daug mažesnis už matavimo neapibrėžtį.

Patikra. Matmenys J·s teisingi, reikšmės dydžio eilė $10^{-34}$ sutampa su Planko konstanta, o SI reikšmė patenka į pateiktą neapibrėžties intervalą.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Intensyvumas žemiau slenksčio. Didindami nepakankamo dažnio šviesos intensyvumą didiname fotonų skaičių, bet ne vieno fotono energiją. Todėl paprastame vienfotonio išorinio fotoefekto modelyje slenkstis neįveikiamas. Labai intensyviuose laukuose galimi daugiafotoniai procesai, tačiau tai jau kita taikymo sritis.

Saulės elementas ir metalinis fotokatodas. Saulės elemente krūvininkai sukuriami bei atskiriami puslaidininkio viduje, o metalinio fotokatodo elektronas palieka paviršių. Abiem atvejais svarbi fotono energija, bet energijos juostų modelio ir išlaisvinimo darbo negalima sukeisti.

Praktinė veikla — `BP_REQUIRED`: eksperimentinis Planko konstantos nustatymas

Kilmė: BP_REQUIRED — PH12-A03-R01-E07. Įgyvendinimo rekomendacijų virtuali laboratorija gali būti pasirengimo arba duomenų patikros priemonė, bet nepakeičia programoje aiškiai įvardyto eksperimentinio nustatymo.

Naudokite gamintojo uždarą fotoefekto mokomąjį įrenginį su fotokatodu, monochromatiniais filtrais ir matuojama stabdymo įtampa. Kiekvienam bent penkių dažnių rinkinio taškui nustatykite $U_s$ , užrašykite prietaiso skiriamąją gebą, pakartokite matavimą ir tiesine regresija raskite $a$ bei $u(a)$ . Apskaičiuokite $h=ea$ , nubraižykite liekanas ir patikrinkite, ar nėra sistemingo kreivumo. Intensyvumą keiskite atskirai: stebėkite soties srovę ir tikrinkite, ar $U_s$ iš esmės nekinta.

Sauga. Korpuso neatidarykite, aukštos įtampos dalys turi būti gamintojo uždengtos, o ultravioletinis šaltinis – ekranuotas. Į šaltinį ir optines angas nežiūrėkite; įrangą jungia mokytojas pagal instrukciją. Jei sertifikuotos įrangos nėra, galima analizuoti pateiktą žalių matavimų rinkinį, tačiau tai žymima duomenų analize, ne atliktu eksperimentu.

Dažnos klaidos

Šviesos intensyvumą tapatinti su vieno fotono energija.
Manyti, kad pakankamai intensyvi bet kokio dažnio šviesa sukelia vienfotonį fotoefektą.
Vidinį fotoefektą painioti su elektrono išlėkimu iš paviršiaus.
Fotosintezei tiesiogiai taikyti metalinio fotokatodo Einšteino lygtį.
Raudonąją ribą laikyti mažiausiu, o ne didžiausiu leistinu bangos ilgiu.
Stabdymo įtampą sieti su vidutine, o ne didžiausia fotoelektronų energija.
Planko konstantą vertinti iš vieno taško ir neįvertinti nuolydžio neapibrėžties.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Fotono energija proporcinga dažniui, o jo impulsas vakuume lygus $h/\lambda$ .
Išorinis fotoefektas išlaisvina elektroną iš paviršiaus; vidinis fotoefektas sukuria ar pakeičia krūvininkus medžiagos viduje.
Puslaidininkinis fotoelementas atskiria fotogeneruotus elektronus ir skyles; fotosintezė prasideda nuo fotono sugerties ir fotoindukuoto elektronų perdavimo.
Medžiagos dalelių banginį pasireiškimą nusako de Broilio ryšys.
$U_s(f)$ grafiko nuolydis leidžia eksperimentiškai nustatyti Planko konstantą.

Savikontrolė

Kuo skiriasi dažnio ir intensyvumo poveikis išoriniam fotoefektui?
Kuo vidinis fotoefektas skiriasi nuo išorinio?
Kaip $p$ ir $\lambda_{\mathrm{dB}}$ paaiškina elektronų difrakciją?
Kodėl fotosintezė nėra metalinio paviršiaus fotoemisija?
Kokie duomenys būtini sąžiningai pateikti $h$ matavimo neapibrėžtį?

Šaltiniai

Rodyti šaltinius

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – §31.3.1, atominiai elementai PH12-A03-R01-E01–E10.
PHY-SRC-NIST-CODATA-2022 – fundamentaliųjų konstantų reikšmės.
PHY-SRC-JCGM-GUM-100-2008 – JCGM GUM §5.1.2: standartinės neapibrėžties sklidimas iš regresijos nuolydžio į $h=ea$ , kai $e$ laikoma tikslia.
JAV energetikos departamento oficiali fotovoltinio elemento veikimo apžvalga ir fotosintezės fotochemijos paaiškinimas – vidinio fotoefekto taikymų mokslinė patikra.

Šviesos kvantai ir fotoefektas