Atomo sandara ir spektrai

Mokymosi tikslai

Paaiškinti, kokius stebėjimus paaiškino ir ko nepaaiškino Rezerfordo bei Boro modeliai.
Iš Boro prielaidų išvesti vandenilio energijos lygmenų formulę ir nurodyti jos galiojimo ribas.
Skirti ištisinį, linijinį ir juostinį emisijos bei absorbcijos spektrus ir jų taikymus.
Pagal energijos lygmenų schemą analizuoti fotono emisiją, absorbciją ir jonizaciją.
Palyginti trijų ir keturių lygmenų, nuolatinės veikos bei impulsinius lazerius ir klasifikuoti juos pagal aktyviąją terpę.

Prisimink

Fotono energija $E=hf=hc/\lambda$ . Atomo spektras nėra ištisinė visų energijų seka: izoliuoto atomo susietos būsenos turi diskrečias energijas, todėl galimi tik konkrečius skirtumus atitinkantys fotonai.

Sąvokos ir simboliai

Branduolinis atomo modelis – teigiamas krūvis ir beveik visa masė sutelkta labai mažame branduolyje.
Energijos lygmuo $E_n$ – leistinos susietos elektrono būsenos energija.
Pagrindinė būsena – mažiausios energijos būsena; sužadintoji – aukštesnės energijos būsena.
Jonizacija – elektrono atskyrimas nuo atomo.
Emisijos spektras – šaltinio išspinduliuotos šviesos spektrinis pasiskirstymas; absorbcijos spektras – po sugerties susilpnėjusių bangų ilgių pasiskirstymas.
Priverstinė emisija – rezonansinio fotono sukeltas perėjimas žemyn, išspinduliuojant su įeinančiu fotonu suderintą fotoną.
Populiacijos inversija – aukštesniame lazerio lygmenyje dalelių yra daugiau negu žemesniame, įvertinus lygmenų degeneraciją.

Teorija

Nuo Tomsono iki Rezerfordo

Tomsono modelyje atomo teigiamas krūvis buvo laikomas pasklidusiu visame atomo tūryje, o elektronai – įterpti į šį pasiskirstymą. Toks išsklaidytas krūvis alfa dalelei galėtų sukelti daug mažų nuokrypių, tačiau nepaaiškintų reto beveik atgalinio atšokimo nuo labai plonos folijos.

Geigerio ir Marsdeno alfa dalelių sklaidos matavimuose dauguma dalelių ploną foliją pralėkė mažai nukrypusios, o maža dalis nukrypo dideliais kampais. Rezerfordo analizė parodė, kad atomas daugiausia tuščias, o teigiamas krūvis ir beveik visa masė sutelkti branduolyje, kurio matmuo mažesnis negu $10^{-14}\ \text{m}$ . Klasikinis branduolinis modelis nepaaiškino atomo stabilumo ir linijinių spektrų.

Klasikinės elektrodinamikos požiūriu apskritimu judantis elektronas turi įcentrinį pagreitį, taigi yra pagreitį turintis krūvis. Toks krūvis turėtų spinduliuoti elektromagnetinę energiją, prarasti mechaninę energiją ir spirale artėti prie branduolio. Vadinasi, klasikinė elektrono orbita negali paaiškinti ilgalaikio atomo stabilumo; vien tai, kad Kulono jėga gali suteikti įcentrinę jėgą, stabilaus atomo modelio nesukuria. Boro stacionariųjų būsenų postulatas istoriškai sustabdė šį kolapsą modelio lygmeniu, bet pats nėra išvedamas iš klasikinės mechanikos.

Boro postulatai ir vandenilio energijos formulės išvedimas

Boro modelis vandenilio atomui remiasi dviem mokyklinėmis prielaidomis: elektronas gali būti tik tam tikrose stacionariosiose būsenose, o pereidamas tarp jų sugeria arba išspinduliuoja fotoną $hf=|E_f-E_i|$ . Leidžiamoms apskritiminėms orbitoms pridedama kampinio momento kvantavimo sąlyga

$m_ev_nr_n=n\hbar,\qquad n=1,2,3,\ldots$

Kulono jėga teikia įcentrinę jėgą:

$\frac{k_e e^2}{r_n^2}=\frac{m_ev_n^2}{r_n},\qquad k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.$

Sujungus abi lygtis gaunamas Boro spindulys

$r_n=\frac{n^2\hbar^2}{m_e k_e e^2}=a_0n^2.$

Elektrono kinetinė energija iš jėgų lygties yra $K=k_e e^2/(2r_n)$ , o elektrinė potencinė energija $U=-k_e e^2/r_n$ . Todėl

$E_n=K+U=-\frac{k_e e^2}{2r_n}=-\frac{m_e k_e^2e^4}{2\hbar^2}\frac1{n^2}=-\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}.$

Energijos nulį pasirenkame laisvam nejudančiam elektronui be galo toli nuo protono. Neigiamas ženklas reiškia susietą būseną, o jonizacijai iš $n$ lygmens reikia bent $|E_n|$ .

Tai istoriškai svarbus, bet ribotas modelis. Formulė tiesiogiai tinka idealiam vandenilio atomui; vandeniliškiems vieno elektrono jonams atsiranda branduolio krūvio $Z$ ir redukuotosios masės pataisos. Modelis nepaaiškina daugiaelektronių atomų spektrų, linijų intensyvumų, visos smulkiosios sandaros ar cheminio ryšio. Kvantinėje mechanikoje elektronas neturi klasikinės apibrėžtos orbitos.

Spektrų rūšys, prigimtis ir taikymai

Spektras	Tipinė kilmė	Ką matome	Pavyzdinis taikymas
Ištisinis emisijos	Įkaitintas tankus kūnas ar nepermatoma medžiaga	Platus nepertraukiamas bangų ilgių intervalas	Temperatūros vertinimas pagal spektrinį pasiskirstymą
Linijinis emisijos	Sužadintos išretintos atomų ar jonų dujos	Atskiros siauros linijos	Elementų atpažinimas dujų išlydyje ar astronomijoje
Linijinis absorbcijos	Ištisinė šviesa pereina per vėsesnes išretintas atomines dujas	Susilpnėjusios linijos	Medžiagos sudėties ir judėjimo analizė
Juostinis	Molekulių vibracinių ir sukamųjų būsenų grupės	Tankios linijų juostos	Molekulių atpažinimas ir aplinkos stebėsena

Emisijos ir absorbcijos linijos atsiranda dėl energijos lygmenų skirtumų. Realios linijos turi baigtinį plotį; jų padėtį ir profilį gali veikti šaltinio judėjimas, temperatūra, slėgis, elektrinis ar magnetinis laukas bei prietaiso skiriamoji geba. Vien linijos intensyvumo negalima nustatyti vien iš lygmenų energijų – svarbios būsenų populiacijos ir perėjimo tikimybės.

Lazerio veikimas ir klasifikacija

Lazeriui būtini aktyvioji terpė, energijos tiekimas, populiacijos inversija, priverstinė emisija ir optinis grįžtamasis ryšys. Du rezonatoriaus veidrodžiai atrenka leidžiamus režimus; vienas jų dalinai pralaidus ir išleidžia pluoštą.

Trijų ir keturių lygmenų lazerių energijos schemos. Rodyklės žymi kaupinimą, greitus nespindulinius perėjimus ir lazerio perėjimą.

Trijų lygmenų sistema: dalelės kaupinamos iš pagrindinio 1 lygmens į 3, greitai pereina į metastabilų 2, o lazerio perėjimas vyksta $2\to1$ . Kadangi apatinis lazerio lygmuo yra pagrindinis, paprastame vienodo degeneracijos modelyje inversijai reikia ištuštinti daugiau kaip pusę pradinės populiacijos; slenkstis aukštas.
Keturių lygmenų sistema: kaupinama $1\to4$ , greitai pereinama $4\to3$ , lazerio perėjimas yra $3\to2$ , o 2 lygmuo greitai ištuštėja į 1. Apatinė lazerio būsena lieka menkai užpildyta, todėl inversiją pasiekti lengviau.

Nuolatinės veikos (CW) lazeris palaiko beveik pastovią inversiją ir galią. Impulsinis lazeris energiją sukaupia ir išleidžia ribotos trukmės impulsais; didelė viršūninė galia nėra tas pats, kas didelė vidutinė galia. Veikos režimas ir lygmenų skaičius nėra sinonimai – konkretus lazeris apibūdinamas abiem požymiais.

Pagal aktyviąją terpę skiriami kietojo kūno (pvz., rubino ar legiruoto kristalo), dujiniai, dažų tirpalo, puslaidininkiniai ir legiruoto šviesolaidžio lazeriai. Jie taikomi matavimams, optiniam ryšiui ir duomenų nuskaitymui, medžiagų pjovimui ar suvirinimui, medicininei diagnostikai bei procedūroms, fundamentiniams tyrimams, nuotolio matavimui ir gynybos sistemų jutikliams. Taikymas neįrodo saugumo: pavojų lemia bangos ilgis, galia, impulso energija bei trukmė ir lazerio klasė.

Formulės ir SI vienetai

$hf=|E_f-E_i|$ ; energijos skirtumai – J arba eV, dažnis – Hz.
$\lambda=hc/|E_f-E_i|$ ; $\lambda$ – m.
$m_ev_nr_n=n\hbar$ ir $k_e e^2/r_n^2=m_ev_n^2/r_n$ – Boro modelio išvedimo prielaidos.
$E_n=-13{,}6\ \text{eV}/n^2$ tik idealiam vandenilio atomui šiame modelyje.
Jonizacijos energija iš $n$ lygmens lygi $|E_n|$ .
$1\ \text{eV}=1{,}602176634\cdot10^{-19}\ \text{J}$ .

Išspręsti pavyzdžiai

1. Vandenilio raudonoji spektro linija

Duota. Vandenilio elektronas pereina iš $n_i=3$ į $n_f=2$ ; $hc=1239{,}841984\ \text{eV·nm}$ .

Rasti. Išspinduliuoto fotono energiją $E_\gamma$ ir bangos ilgį $\lambda$ .

Modelis ir sąlygos. Taikome Boro modelį izoliuotam vandenilio atomui ir nepaisome redukuotosios masės, smulkiosios sandaros bei linijos pločio pataisų.

Vienetai. Lygmenų energijas skaičiuojame eV, todėl su $hc$ vienetais eV·nm bangos ilgis gaunamas nm.

Skaičiavimas.

$E_3=-\frac{13{,}6}{9}=-1{,}511111111\ \text{eV},\qquad E_2=-\frac{13{,}6}{4}=-3{,}400000000\ \text{eV},$

$E_\gamma=E_3-E_2=1{,}888888889\ \text{eV},$

$\lambda=\frac{1239{,}841984}{1{,}888888889}=656{,}3869327\ \text{nm}.$

Atsakymas. $E_\gamma\approx1{,}89\ \text{eV}$ , $\lambda\approx656\ \text{nm}$ .

Patikra. Perėjimas vyksta žemyn, todėl fotono energija teigiama. Gauta reikšmė yra regimosios raudonos šviesos intervale ir atitinka Balmerio serijos dydžio eilę.

2. Jonizacija iš pirmosios sužadintosios būsenos

Duota. Vandenilio atomas yra $n=2$ būsenoje; $hc=1239{,}841984\ \text{eV·nm}$ .

Rasti. Mažiausią jonizacijos energiją ir didžiausią jonizuojančio fotono bangos ilgį.

Modelis ir sąlygos. Taikome Boro modelį vienam vandenilio atomui. Slenksčio atveju laisvo elektrono kinetinė energija lygi nuliui.

Vienetai. Energija skaičiuojama eV, bangos ilgis – nm.

Skaičiavimas.

$E_2=-\frac{13{,}6}{2^2}=-3{,}40\ \text{eV},$

todėl jonizacijai reikia $E_{\min}=0-E_2=3{,}40\ \text{eV}$ . Tuomet

$\lambda_{\max}=\frac{1239{,}841984}{3{,}40}=364{,}6594071\ \text{nm}.$

Atsakymas. $E_{\min}=3{,}40\ \text{eV}$ , $\lambda_{\max}\approx365\ \text{nm}$ .

Patikra. Jonizacijos energija iš $n=2$ mažesnė už $13{,}6\ \text{eV}$ iš pagrindinės būsenos, todėl ilgesnė ultravioletinė riba yra fiziškai prasminga.

3. Nežinomo Balmerio perėjimo nustatymas

Duota. Vandenilio emisijos linija turi $\lambda=486{,}1\ \text{nm}$ , o galutinis lygmuo $n_f=2$ ; $hc=1239{,}841984\ \text{eV·nm}$ .

Rasti. Pradinį pagrindinį kvantinį skaičių $n_i$ .

Modelis ir sąlygos. Taikome idealaus vandenilio Boro lygmenis; bangos ilgio matavimo neapibrėžtis laikoma maža tiek, kad galime parinkti artimiausią sveiką $n_i$ .

Vienetai. Fotono ir lygmenų energijos skaičiuojamos eV.

Skaičiavimas.

$E_\gamma=\frac{1239{,}841984}{486{,}1}=2{,}550590381\ \text{eV},$

$E_i=E_2+E_\gamma=-3{,}400000000+2{,}550590381=-0{,}849409619\ \text{eV}.$

Iš $-13{,}6/n_i^2=E_i$ gauname

$n_i=\sqrt{\frac{13{,}6}{0{,}849409619}}=4{,}001390\approx4.$

Atsakymas. Perėjimas yra $n_i=4\to n_f=2$ .

Patikra. Kvantinis skaičius turi būti sveikas; apskaičiuota reikšmė nuo 4 skiriasi tik apie $0{,}035\%$ , taigi rezultatas atitinka duomenis ir Boro modelio sąlygas.

4. Keturių lygmenų lazerio fotono bangos ilgis

Duota. Viršutinis lazerio lygmuo yra $E_3=2{,}00\ \text{eV}$ , apatinis $E_2=0{,}20\ \text{eV}$ ; $hc=1239{,}841984\ \text{eV·nm}$ .

Rasti. Lazerio perėjimo fotono energiją ir bangos ilgį.

Modelis ir sąlygos. Laikome, kad lazerio fotoną sukuria perėjimas $3\to2$ , o lygmenų plotį, terpės lūžio rodiklį ir rezonatoriaus režimų poslinkį šiame mokykliniame modelyje ignoruojame.

Vienetai. Energijų skirtumas lieka eV; naudojant eV·nm konstantą gauname nm.

Skaičiavimas.

$E_\gamma=E_3-E_2=2{,}00-0{,}20=1{,}80\ \text{eV},$

$\lambda=\frac{1239{,}841984}{1{,}80}=688{,}8011022\ \text{nm}.$

Atsakymas. $E_\gamma=1{,}80\ \text{eV}$ , $\lambda\approx689\ \text{nm}$ .

Patikra. Energija teigiama ir mažesnė už viršutinio lygmens energiją. Apie $689\ \text{nm}$ yra raudonos šviesos dydžio eilė, todėl rezultatas fiziškai prasmingas.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Kodėl linijos, o ne ištisinė juosta? Izoliuoto atomo susietų būsenų skirtumai diskretūs. Tankiame kietajame kūne sąveikos sukuria energijos juostas ir išplėstą spektrą, todėl „kiekviena medžiaga duoda tik kelias linijas“ nėra universali taisyklė.

Kodėl keturių lygmenų lazerio slenkstis paprastai mažesnis? Apatinis lazerio lygmuo greitai ištuštėja, todėl mažiau dalelių sugeria lazerio dažnio fotonus atgal. Tai nereiškia, kad kiekvienas keturių lygmenų lazeris visais atžvilgiais efektyvesnis – svarbios ir terpės, rezonatoriaus bei nuostolių savybės.

Praktinė veikla — `EDITORIAL`: spektrų duomenų analizė

Kilmė: EDITORIAL. Veikla padeda įrodyti PH12-A03-R02-E05 ir E06, tačiau pati nėra atskirai įvardyta kaip privalomas §31.3.2 eksperimentas.

Naudokite kalibruotą spektrometrą arba pateiktą žalių duomenų rinkinį. Išmatuokite kelių vandenilio regimųjų linijų centrus, perskaičiuokite juos į fotonų energijas ir priskirkite perėjimams į $n=2$ . Nurodykite spektrometro skiriamąją gebą, linijos centro neapibrėžtį ir liekanas nuo Boro modelio. Jei naudojama išlydžio lempa, jos aukštos įtampos šaltinio neatidarykite ir žiūrėkite tik per tam skirtą optinę sistemą.

Dažnos klaidos

Boro orbitas laikyti pažodiniu šiuolaikiniu elektrono trajektorijos vaizdu.
Formulę $-13{,}6/n^2$ be pataisų taikyti bet kuriam atomui.
Ištisinį, linijinį ir juostinį spektrus skirti vien pagal „gražų vaizdą“, ne pagal kilmę.
Spektrinės linijos intensyvumą nustatyti vien iš lygmenų energijų.
Trijų ir keturių lygmenų sistemas painioti su nuolatinės veikos ir impulsiniais režimais.
Nematomą arba silpnai atrodantį lazerį laikyti saugiu ir žiūrėti į pluoštą ar jo veidrodinį atspindį.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Rezerfordo analizė parodė mažą masyvų branduolį, bet klasikinis modelis nepaaiškino stabilumo ir spektrų.
Boro prielaidose Kulono dinamika ir kampinio momento kvantavimas duoda $E_n\propto-1/n^2$ .
Spektro tipą lemia šaltinio būsena ir atomų ar molekulių energijos struktūra.
Keturių lygmenų lazerio apatinis lazerio lygmuo greitai ištuštinamas, todėl inversiją paprastai pasiekti lengviau negu trijų lygmenų sistemoje.
Lazeriai skiriami ir pagal aktyviąją terpę, ir pagal nuolatinį ar impulsinį veikos režimą.

Savikontrolė

Kokios dvi Boro prielaidos leidžia gauti vandenilio energijos lygmenis?
Kuo skiriasi ištisinio, linijinio ir juostinio spektro kilmė?
Kodėl Boro formulė nėra universalus visų atomų modelis?
Kuo trijų lygmenų lazerio schema skiriasi nuo keturių lygmenų schemos?
Kodėl impulso trukmė ir vidutinė lazerio galia nėra tas pats dydis?

Šaltiniai

Rodyti šaltinius

PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – §31.3.2, atominiai elementai PH12-A03-R02-E01–E07d.
PHY-SRC-NIST-CODATA-2022 – fundamentaliųjų konstantų reikšmės.
Floridos valstybinio universiteto institucinė lazerių energijos lygmenų mokomoji apžvalga – trijų ir keturių lygmenų sistemų bei populiacijos inversijos patikra.
JAV FDA lazerių terpių, taikymų ir saugos apžvalga – tipų bei saugos patikra.

Atomo sandara ir spektrai