Reliatyvistinė mechanika, energija ir impulsas

Mokymosi tikslai

Atskirti invariantinę rimties masę $m_0$ nuo istorinio „reliatyvistinės masės“ žymėjimo $m=\gamma m_0$ .
Apskaičiuoti masyvios dalelės impulsą, bendrąją, rimties ir kinetinę energijas.
Taikyti invariantinį energijos ir impulso ryšį masyviai dalelei bei fotonui.
Paaiškinti elektrinio ir magnetinio laukų vaidmenis greitintuve ir įvertinti potencialų skirtumu pagreitintos dalelės greitį.

Prisimink

Lorenco daugiklis $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ didėja be ribos, kai masyvios dalelės greitis artėja prie $c$ . Mažų greičių srityje $\gamma\approx1$ , todėl reliatyvistinės išraiškos turi pereiti į klasikinės mechanikos formules.

Sąvokos ir simboliai

Invariantinė, arba rimties, masė $m_0$ – visose inercinėse sistemose vienoda izoliuotos dalelės savybė.
Rimties energija $E_0=m_0c^2$ .
Bendroji energija $E=\gamma m_0c^2$ .
Reliatyvistinis judesio kiekis $p=\gamma m_0v$ .
Kinetinė energija $K=E-E_0=(\gamma-1)m_0c^2$ .
Elektronvoltas – energija, kurią vieno elementariojo krūvio dalelė įgyja pereidama 1 V potencialų skirtumą: $1\ \text{eV}=1{,}602176634\cdot10^{-19}\ \text{J}$ .

Teorija ir fizikinis modelis

Masyvios dalelės masė, impulsas ir energija

Šiuolaikinėje dalelių fizikos kalboje „masė“ paprastai reiškia invariantinę $m_0$ . Judančios dalelės energija ir impulsas yra

$E=\gamma m_0c^2,$

$p=\gamma m_0v,$

o kinetinė energija

$K=E-E_0=(\gamma-1)m_0c^2.$

Kai $v\ll c$ , eilutės skleidinys $\gamma\approx1+v^2/(2c^2)$ duoda $K\approx m_0v^2/2$ ir $p\approx m_0v$ . Taigi klasikinė mechanika yra reliatyvistinio modelio mažų greičių riba, o ne nepriklausoma taisyklė dideliems greičiams.

Istoriniame žymėjime ir kai kuriuose formulynuose rašoma

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma m_0,$

ir $m$ vadinama judančio kūno arba reliatyvistine mase. Tada $p=mv$ ir $E=mc^2$ . Tai tas pats skaičiavimo modelis, jei $m$ aiškiai apibrėžta, bet viename sprendime negalima šio $m$ maišyti su invariantine $m_0$ . Fiziškai skaidresnis aprašas teigia: invariantinė masė nekinta, didėja sistemos energija ir impulso modulis.

Energijos ir impulso invariantinis ryšys

Iš $E=\gamma m_0c^2$ , $p=\gamma m_0v$ ir $\gamma^2(1-v^2/c^2)=1$ gauname

$E^2-(pc)^2=(m_0c^2)^2,$

arba

$E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2.$

Dalelės rimties sistemoje $p=0$ , todėl $E=E_0=m_0c^2$ . Sistemos invariantinė masė apima jos vidinę energiją: įkaitintos uždaros sistemos masė truputį didesnė už atvėsusios. Vis dėlto $E=mc^2$ nereiškia, kad bet kokio kūno visa masė savaime gali virsti panaudojama energija – būtina apibrėžti pradinę ir galutinę sistemą bei išsaugoti energiją, impulsą ir kitus kvantinius skaičius.

Fotonas

Fotonui $m_0=0$ , tad invariantinis ryšys tampa

$E=pc.$

Kartu su kvantinėmis formulėmis:

$E=hf=\frac{hc}{\lambda},\qquad p=\frac{h}{\lambda}.$

Fotonas neturi rimties sistemos: nėra inercinės sistemos, judančios kartu su šviesa vakuume. Nulinė rimties masė nereiškia nulinės energijos arba impulso; šviesa perduoda impulsą ir gali daryti spinduliavimo slėgį.

Dalelės greitinimas elektriniu lauku

Jei krūvio $q$ dalelė pradeda iš rimties ir be nuostolių pereina potencialų skirtumą $U$ , jos kinetinės energijos prieaugis yra

$K=|qU|.$

Tuomet

$\gamma=1+\frac{|qU|}{m_0c^2},$

$v=c\sqrt{1-\frac1{\gamma^2}}.$

Didinant $U$ , energija ir impulsas didėja, bet baigtine energija masyvi dalelė nepasiekia $c$ . Realiame greitintuve būtina vertinti spinduliuotės, susidūrimų, fazės ir lauko netolygumo nuostolius; vieno potencialų skirtumo modelis jų neapima.

Oficialiame CERN greitintuvo veikimo paaiškinime elektriniai laukai didina pluošto energiją, o magnetiniai laukai kreipia ir fokusuoja įkrautų dalelių trajektorijas. Magnetinė Lorenco jėga $q\vec v\times\vec B$ yra statmena momentiniam greičiui, todėl idealus statinis magnetinis laukas darbo neatlieka ir energijos nedidina.

Matavimo neapibrėžtis ir modelio pasirinkimas

Jeigu dalelės energija nustatoma iš potencialų skirtumo, $u(K)=|q|u(U)$ , kai krūvis laikomas tikslus. Netiesinei funkcijai $v(K)$ neapibrėžtis skleidžiama pagal jos išvestinę arba perskaičiuojant intervalo ribas. Rezultatą būtina palyginti su klasikiniu modeliu: jei jų skirtumas didesnis už matavimo neapibrėžtį ar užduoties reikalaujamą tikslumą, klasikinė formulė netinka.

Formulės, vienetai, sąlygos ir ribos

$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ , bedimensis ir apibrėžtas masyviai dalelei, kai $|v|<c$ .
$p=\gamma m_0v$ , SI vienetas kg·m/s; dalelių fizikoje dažnai eV/ $c$ .
$E=\gamma m_0c^2$ , $E_0=m_0c^2$ , $K=(\gamma-1)m_0c^2$ ; SI vienetas J, taip pat naudojamas eV.
$E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2$ galioja laisvai dalelei ir visos izoliuotos sistemos bendrajai energijai bei impulsui.
Fotonui $E=pc=hf$ ir $p=h/\lambda$ vakuume.
Iš rimties pagreitintai dalelei $K=|qU|$ tik tada, kai kitų energijos perdavimo bei nuostolių galima nepaisyti.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Protono energija ir impulsas ties 0,80c

Duota. Protono greitis $v=0{,}800c$ , o 2022 CODATA rimties energija $m_0c^2=938{,}27208943\ \text{MeV}$ .

Rasti. Bendrąją energiją $E$ , kinetinę energiją $K$ ir impulso sandaugą $pc$ .

Modelis ir sąlygos. Protoną laikome laisva dalele, naudojame invariantinę masę ir nepaisome išorinių laukų bei energijos nuostolių.

Vienetai. Energijas ir $pc$ reiškiame MeV; impulso skaitinė išraiška būtų MeV/ $c$ .

Skaičiavimas.

$\gamma=\frac1{\sqrt{1-0{,}800^2}}=\frac53=1{,}666\ldots,$

$E=\gamma m_0c^2=\frac53(938{,}27208943)=1563{,}78682\ \text{MeV},$

$K=(\gamma-1)m_0c^2=625{,}51473\ \text{MeV},$

$pc=\gamma\frac vc m_0c^2=\frac53(0{,}800)(938{,}27208943)=1251{,}02945\ \text{MeV}.$

Atsakymas. $E\approx1564\ \text{MeV}$ , $K\approx626\ \text{MeV}$ , $p\approx1251\ \text{MeV}/c$ .

Patikra. $E-K=938{,}27209\ \text{MeV}$ atitinka rimties energiją, o $\sqrt{(1251{,}02945)^2+(938{,}27209)^2}\approx1563{,}78682\ \text{MeV}$ patvirtina invariantinį ryšį.

2. Elektronas po išmatuoto potencialų skirtumo

Duota. Elektronas pradeda iš rimties ir pereina $U=(100{,}0\pm0{,}5)\ \text{kV}$ ; $m_ec^2=511{,}0\ \text{keV}$ .

Rasti. Kinetinę energiją $K$ , Lorenco daugiklį $\gamma$ ir greitį $v/c$ su įvertinta neapibrėžtimi.

Modelis ir sąlygos. Visas elektrinio lauko darbas virsta elektrono kinetine energija, o spinduliuotės ir susidūrimų nuostoliai nereikšmingi.

Vienetai. Viengubam elementariajam krūviui kV skaitinė vertė atitinka keV energiją, todėl $K=(100{,}0\pm0{,}5)\ \text{keV}$ .

Skaičiavimas.

$\gamma=1+\frac{100{,}0}{511{,}0}=1{,}19569,$

$\frac vc=\sqrt{1-\frac1{1{,}19569^2}}=0{,}54822.$

$u(\gamma)=0{,}5/511=0{,}00098$ , o $u(v/c)\approx u(\gamma)/(\beta\gamma^3)=0{,}00104$ .

Atsakymas. $K=(100{,}0\pm0{,}5)\ \text{keV}$ , $\gamma=1{,}19569\pm0{,}00098$ ir $v=(0{,}5482\pm0{,}0010)c$ pagal nurodytą idealų modelį.

Patikra. Gautas greitis mažesnis už $c$ , o $\gamma>1$ ; neapibrėžties intervalas taip pat visas lieka fiziškai leistinoje $0<v<c$ srityje.

3. Regimosios šviesos fotono impulsas

Duota. Fotono bangos ilgis vakuume $\lambda=600\ \text{nm}$ , o $h=6{,}62607015\cdot10^{-34}\ \text{J·s}$ .

Rasti. Fotono impulsą $p$ ir energiją $E$ džauliais bei elektronvoltais.

Modelis ir sąlygos. Fotonas sklinda vakuume, todėl taikome $p=h/\lambda$ ir $E=pc$ ; terpės dispersijos nenagrinėjame.

Vienetai. $600\ \text{nm}=6{,}00\cdot10^{-7}\ \text{m}$ , $c=2{,}99792458\cdot10^8\ \text{m/s}$ .

Skaičiavimas.

$p=\frac{6{,}62607015\cdot10^{-34}}{6{,}00\cdot10^{-7}}=1{,}10435\cdot10^{-27}\ \text{kg·m/s},$

$E=pc=3{,}31074\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}0664\ \text{eV}.$

Atsakymas. $p\approx1{,}10\cdot10^{-27}\ \text{kg·m/s}$ ir $E\approx3{,}31\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}07\ \text{eV}$ .

Patikra. $E/p=c$ pagal skaitines reikšmes, vienetai duoda J, o kelių elektronvoltų energija atitinka regimosios šviesos dydžio eilę.

4. Energija iš impulso ir rimties energijos

Duota. Dalelės $pc=3{,}00\ \text{GeV}$ , o jos rimties energija $m_0c^2=4{,}00\ \text{GeV}$ .

Rasti. Bendrąją energiją $E$ ir kinetinę energiją $K$ .

Modelis ir sąlygos. Dalelė laisva, o pateikti $pc$ ir $m_0c^2$ priklauso tam pačiam įvykiui bei tai pačiai energijos vienetų sistemai.

Vienetai. Abu statmenieji invariantinio ryšio nariai išreikšti GeV, todėl ir rezultatai bus GeV.

Skaičiavimas.

$E=\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}=\sqrt{3{,}00^2+4{,}00^2}=5{,}00\ \text{GeV},$

$K=E-m_0c^2=5{,}00-4{,}00=1{,}00\ \text{GeV}.$

Atsakymas. Bendroji energija $E=5{,}00\ \text{GeV}$ , o kinetinė energija $K=1{,}00\ \text{GeV}$ .

Patikra. Energijos sudaro $3$ – $4$ – $5$ stačiojo trikampio santykį, $E>m_0c^2$ , o kinetinė energija yra teigiama ir mažesnė už bendrąją.

5. CERN protono energija, impulsas ir lygiavertis potencialų skirtumas

Duota. CERN viešame greitintuvų komplekso apraše nurodyta LHC protono pluošto bendroji energija $E=6{,}8\ \text{TeV}$ vienam protonui; $m_pc^2=0{,}938272\ \text{GeV}$ , $|q|=e$ .

Rasti. Kinetinę energiją $K$ , impulsą $p$ ir vieno idealaus elektrinio lauko energijos prieaugiui lygiavertį potencialų skirtumą $U_{\mathrm{eq}}$ .

Modelis ir sąlygos. Naudojame laisvos reliatyvistinės dalelės invariantą ir $K=|q|U$ . $U_{\mathrm{eq}}$ yra visų RF ertmių energijos prieaugio ekvivalentas, ne vienos realios LHC įtampos tarpas; nuostolių ir įpurškimo energijos šiame įvertyje nepaisome.

Vienetai. $E=6800\ \text{GeV}$ ; viengubam elementariajam krūviui $1\ \text{eV}$ kinetinės energijos prieaugis atitinka $1\ \text{V}$ potencialų skirtumą.

Skaičiavimas.

$K=E-m_pc^2=6800-0{,}938272=6799{,}061728\ \text{GeV},$

$pc=\sqrt{E^2-(m_pc^2)^2}=6799{,}999935\ \text{GeV},$

$p\approx6800{,}000\ \text{GeV}/c,$

$U_{\mathrm{eq}}=\frac{K}{e}=6{,}799061728\cdot10^{12}\ \text{V}=6{,}799061728\ \text{TV}.$

Atsakymas. Pagal šaltinio du reikšminius skaitmenis $K\approx6{,}8\ \text{TeV}$ , $p\approx6{,}8\ \text{TeV}/c$ , o idealus lygiavertis potencialų skirtumas $U_{\mathrm{eq}}\approx6{,}8\ \text{TV}$ . Tarpiniame skaičiavime matoma $0{,}938272\ \text{GeV}$ rimties energijos pataisa yra daug mažesnė už šaltinio pateikto $6{,}8\ \text{TeV}$ duomens raišką.

Patikra. $E^2-(pc)^2=(m_pc^2)^2$ , o $E-K=0{,}938272\ \text{GeV}$ atkuria protono rimties energiją. Rezultato teravoltų dydžio eilė fiziškai prasminga, tačiau $U_{\mathrm{eq}}$ nereiškia vieno 6,8 TV elektrodo: žiediniame greitintuve energija perduodama daug kartų kertant RF ertmių elektrinius laukus.

Konceptualūs ir duomenų analizės pavyzdžiai

Kodėl masyvi dalelė nepasiekia $c$ ? Artėjant $v$ prie $c$ , $\gamma$ , energija ir impulsas didėja be ribos. Baigtinis greitintuvo energijos prieaugis gali tik priartinti masyvią dalelę prie $c$ .

Kodėl magnetas „lenkia“, bet neprideda energijos? Magnetinė jėga yra statmena greičiui, todėl momentinė galia $P=\vec F\cdot\vec v=0$ . Ji keičia impulso kryptį, o energiją perduoda elektrinio lauko darbas.

Praktinė veikla — `EDITORIAL`: klasikinio ir reliatyvistinio modelių palyginimas

Skaičiuoklėje pasirinkite $v/c$ reikšmes nuo 0,05 iki 0,99, apskaičiuokite $K_\text{kl}=m_0v^2/2$ ir $K_\text{rel}=(\gamma-1)m_0c^2$ bei nubraižykite santykinį skirtumą. Pakartokite skaičiavimą su pasirinkta $v/c$ neapibrėžtimi ir nurodykite, nuo kurios reikšmės modelių skirtumas viršija šią neapibrėžtį. Įrankis turi skaičiuoti iš formulių, o ne naudoti iš anksto sugalvotą universalų „reliatyvistinio greičio“ slenkstį. Tai redakcinė modelių analizė, ne BP reikalaujamas atskiras eksperimentas.

Dažnos klaidos ir miskoncepcijos

Vienoje lygtyje maišyti invariantinę $m_0$ ir istorinę reliatyvistinę $m=\gamma m_0$ masę.
Kinetinę energiją tapatinti su visa $E=\gamma m_0c^2$ .
Masyviai dalelei dideliu greičiu taikyti $p=m_0v$ arba $K=m_0v^2/2$ neįvertinus paklaidos.
Teigti, kad fotonas neturi impulso, nes jo rimties masė nulinė.
Potencialų skirtumo energijoje pamiršti krūvio modulį arba elektronvoltų ir voltų ryšį.
Manyti, kad idealus statinis magnetinis laukas vienas pats didina dalelės energiją.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Invariantinė masė $m_0$ nekinta, o energija ir impulsas priklauso nuo atskaitos sistemos; istorinis $m=\gamma m_0$ žymėjimas turi būti aiškiai deklaruotas.
Masyvios dalelės energiją ir impulsą sieja $E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2$ .
Fotonui $m_0=0$ , bet $E=pc=hf$ ir impulsas nenulinis.
Elektrinis laukas gali didinti dalelės energiją, magnetinis laukas kreipia pluoštą, o baigtine energija masyvi dalelė $c$ nepasiekia.

Savikontrolė

Kuo skiriasi rimties, kinetinė ir bendroji energijos?
Kaip suderinti istorinio formulyno „reliatyvistinę masę“ su invariantinės masės žymėjimu?
Kaip išvedamas invariantinis energijos ir impulso ryšys?
Koks energijos ir impulso ryšys galioja fotonui?
Kodėl elektrinis ir magnetinis laukai greitintuve atlieka skirtingus vaidmenis?

Šaltiniai

Rodyti šaltinius

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – §31.4.1–31.4.2 reliatyvistinės masės, impulso, energijos ir greitinimo apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus programos atvaizdavimas.
PHY-SRC-NIST-CODATA-2022 – $c$ , $h$ , $e$ ir dalelių rimties energijų reikšmės.
PHY-SRC-OPENSTAX-UP3-PHOTOELECTRIC – OpenStax §6.2: fotono energijos ryšys $E=hf=hc/\lambda$ .
PHY-SRC-OPENSTAX-UP3-MATTER-WAVES – OpenStax §6.5: kvantiniai ryšiai $E=hf$ ir $\lambda=h/p$ ; masės neturinčiai dalelei $\lambda f=c$ .
PHY-SRC-JCGM-GUM-100-2008 – JCGM GUM §5.1.2: pirmos eilės standartinės neapibrėžties sklidimas iš $\gamma$ į $\beta=v/c$ .
CERN: How an accelerator works – oficialus elektrinių bei magnetinių laukų vaidmenų greitintuve paaiškinimas.
CERN: accelerator complex – oficialus LHC $6{,}8\ \text{TeV}$ protono pluošto energijos duomuo ir greitintuvų grandinės energijų seka.

Reliatyvistinė mechanika, energija ir impulsas