Specialiojo reliatyvumo prielaidos ir erdvėlaikis

Mokymosi tikslai

Suformuluoti specialiosios reliatyvumo teorijos postulatus ir jų taikymo sritį.
Taikyti tiesiaeigio judėjimo Lorenco transformacijas įvykio koordinatėms ir vienalaikiškumui.
Iš Lorenco transformacijų pagrįsti laiko sulėtėjimo bei ilgio sutrumpėjimo formules.
Apskaičiuoti laiko intervalus, išilginius ilgius ir kolineariai sudedamus greičius, nurodant modelio ribas.

Prisimink

Įvykis yra reiškinys konkrečioje vietoje ir konkrečiu laiku. Klasikinė Galilėjaus transformacija $x'=x-vt$ , $t'=t$ numato absoliutų laiką, tačiau ji nesuderinama su tuo, kad visi inerciniai stebėtojai vakuume matuoja tą patį šviesos greitį $c$ .

Sąvokos ir simboliai

Inercinė atskaitos sistema – sistema, kurioje laisvas kūnas juda pastoviu greičiu tiesiai.
Įvykis – erdvėlaikio taškas su koordinatėmis $(x,y,z,t)$ .
Savasis laikas $\Delta\tau$ – intervalas tarp dviejų įvykių sistemoje, kurioje jie vyksta toje pačioje vietoje.
Savasis ilgis $L_0$ – objekto ilgis jo rimties sistemoje.
Lorenco daugiklis $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ .
Erdvėlaikio intervalas $\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2$ vienmatėje situacijoje; jis invariantus Lorenco transformacijoms.

Teorija ir fizikinis modelis

Du specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai

Fizikos dėsniai yra vienodi visose inercinėse atskaitos sistemose.
Šviesos greitis vakuume $c$ yra vienodas visiems inerciniams stebėtojams, nepriklausomai nuo šaltinio ar stebėtojo judėjimo.

Specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai ir Lorenco transformacijos formuluojami inercinėms sistemoms, kai gravitacijos poveikį galima laikyti nereikšmingu. Ji gali aprašyti ir pagreitintą pasaulio liniją plokščiame erdvėlaikyje, tik tokio stebėtojo viena globali inercinė sistema neapima visos trajektorijos. Bendroji reliatyvumo teorija reikalinga gravitacijai kaip erdvėlaikio kreivumui aprašyti; vien pats neinercinis judėjimas dar nereiškia, kad būtina kreiva erdvėlaikio geometrija. Šiame skyriuje bendrosios teorijos lygčių netaikome.

Lorenco transformacijos

Tegu sistema $S'$ juda pastoviu greičiu $v$ teigiama $x$ kryptimi sistemos $S$ atžvilgiu, o pradžios sutampa, kai $t=t'=0$ . Tada vieno įvykio koordinatės transformuojamos:

$x'=\gamma(x-vt),$

$t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right),$

$y'=y,\qquad z'=z,$

kur

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

Atvirkštinės transformacijos gaunamos pakeitus $v$ į $-v$ :

$x=\gamma(x'+vt'),\qquad t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^2}\right).$

Tai nėra vien matomo vaizdo ar signalų vėlavimo korekcija. Transformacijos nusako, kokias erdvės ir laiko koordinates tam pačiam įvykiui priskiria sinchronizuotų laikrodžių ir liniuočių tinklai dviejose inercinėse sistemose. Jos taikomos tik tada, kai aiškiai nurodytos ašių kryptys, sistemų santykinis greitis ir bendras koordinačių pradžios įvykis.

Vienalaikiškumo reliatyvumas

Dviem įvykiams Lorenco laiko transformacija yra

$\Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right).$

Jeigu $S$ sistemoje atskirti įvykiai vienalaikiai, $\Delta t=0$ , bet $\Delta x\ne0$ , tuomet $\Delta t'=-\gamma v\Delta x/c^2\ne0$ . Vadinasi, erdviškai atskirtų įvykių vienalaikiškumas nėra absoliutus. Priežastingai susietų įvykių tvarka dėl to neapsiverčia: šviesos kūgio viduje esančių įvykių laiko tvarką išsaugo visos inercinės sistemos.

Laiko sulėtėjimas iš Lorenco transformacijos

Tarkime, du laikrodžio įvykiai vyksta toje pačioje $S'$ vietoje, todėl $\Delta x'=0$ ir $\Delta t'=\Delta\tau$ . Iš atvirkštinės laiko transformacijos:

$\Delta t=\gamma\left(\Delta t'+\frac{v\Delta x'}{c^2}\right)=\gamma\Delta\tau.$

Taigi $\Delta t=\gamma\Delta\tau$ . Savasis laikas atpažįstamas pagal sąlygą „abu įvykiai toje pačioje vietoje“, o ne vien pagal tai, kuris skaičius mažesnis.

Ilgio sutrumpėjimas iš Lorenco transformacijos

Objekto galų padėtys $S$ sistemoje turi būti išmatuotos vienu metu, todėl $\Delta t=0$ ir $\Delta x=L$ . Iš erdvės transformacijos:

$\Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t)=\gamma L.$

Objektas ilsisi $S'$ sistemoje, tad $\Delta x'=L_0$ . Vadinasi,

$L=\frac{L_0}{\gamma}=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Sutrumpėja tik judėjimui lygiagreti dedamoji. Koordinatinis ilgis nėra tas pats, kas fotoaparato užfiksuota forma: skirtinga šviesos sklidimo iš objekto taškų trukmė gali pakeisti regimą vaizdą.

Reliatyvistinis greičių sudėjimas

Jeigu objektas $S'$ sistemoje ta pačia tiese juda greičiu $u'$ , o $S'$ juda greičiu $v$ sistemos $S$ atžvilgiu,

$u=\frac{u'+v}{1+u'v/c^2}.$

Ženklai turi sekti pasirinktą ašies kryptį. Kai $|u'|,|v|\ll c$ , vardiklis artimas 1 ir gaunama klasikinė suma. Jei $u'=c$ , rezultatas lygus $c$ .

Erdvėlaikio diagrama su šviesos kūgiu, įvykiais ir dviejų sistemų ašimis

Formulės, vienetai, sąlygos ir ribos

$c=299792458\ \text{m/s}$ yra tiksliai apibrėžta SI konstanta.
$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ yra bedimensis; masyviai dalelei $|v|<c$ .
$x'=\gamma(x-vt)$ ir $t'=\gamma(t-vx/c^2)$ taikomos standartinei vienmatei dviejų inercinių sistemų konfigūracijai.
$\Delta t=\gamma\Delta\tau$ tik tada, kai $\Delta\tau$ yra to paties laikrodžio savasis intervalas.
$L=L_0/\gamma$ tik judėjimo krypties ilgiui, kai judančio objekto galai matuojami vienu metu stebėtojo sistemoje.
$u=(u'+v)/(1+u'v/c^2)$ pateikta kolineariniams greičiams.
Mažų greičių riba $v/c\to0$ duoda $\gamma\to1$ , Lorenco transformacijos pereina į Galilėjaus transformacijas.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Greitų miuonų gyvavimo trukmė

Duota. Miuono savoji vidutinė gyvavimo trukmė $\Delta\tau=2{,}20\ \mu\text{s}$ , o greitis Žemės sistemoje $v=0{,}980c$ .

Rasti. Vidutinę gyvavimo trukmę $\Delta t$ ir vidutinį kelią $s$ Žemės atskaitos sistemoje.

Modelis ir sąlygos. Miuonas tarp susidarymo ir skilimo juda pastoviu greičiu; savasis intervalas matuojamas miuono rimties sistemoje, gravitacijos nepaisome.

Vienetai. $2{,}20\ \mu\text{s}=2{,}20\cdot10^{-6}\ \text{s}$ , o $c=2{,}99792458\cdot10^8\ \text{m/s}$ .

Skaičiavimas.

$\gamma=\frac1{\sqrt{1-0{,}980^2}}=5{,}025,$

$\Delta t=\gamma\Delta\tau=5{,}025(2{,}20\ \mu\text{s})=11{,}06\ \mu\text{s},$

$s=v\Delta t=0{,}980c(11{,}06\cdot10^{-6}\ \text{s})=3{,}25\cdot10^3\ \text{m}.$

Atsakymas. Žemės sistemoje $\Delta t\approx11{,}1\ \mu\text{s}$ , o vidutinis kelias $s\approx3{,}25\ \text{km}$ .

Patikra. $\gamma>1$ , todėl Žemės sistemos intervalas didesnis už savąjį; kelias mažesnis už $c\Delta t\approx3{,}32\ \text{km}$ , kaip reikalauja $v<c$ .

2. Judančio erdvėlaivio ilgis

Duota. Erdvėlaivio savasis ilgis $L_0=120\ \text{m}$ , o greitis stebėtojo atžvilgiu $v=0{,}800c$ .

Rasti. Judėjimo krypties ilgį $L$ , kurį nustato stebėtojas vienalaikiais galų padėčių matavimais.

Modelis ir sąlygos. Laivas juda tiesiai ir tolygiai, $L_0$ matuojamas jo rimties sistemoje, o skersinių matmenų nekeičia ši vienmatė transformacija.

Vienetai. $v/c=0{,}800$ ir $\gamma$ yra bedimensiai, todėl $L$ lieka metrais.

Skaičiavimas.

$\gamma=\frac1{\sqrt{1-0{,}800^2}}=\frac1{0{,}600}=1{,}6667,$

$L=\frac{120\ \text{m}}{1{,}6667}=72{,}0\ \text{m}.$

Atsakymas. Stebėtojo sistemoje judėjimo krypties ilgis yra $72{,}0\ \text{m}$ .

Patikra. Judančio objekto išilginis ilgis mažesnis už savąjį ir santykis $L/L_0=0{,}600$ tiksliai atitinka $\sqrt{1-v^2/c^2}$ .

3. Reliatyvistinis greičių sudėjimas

Duota. Erdvėlaivis Žemės atžvilgiu juda $v=0{,}80c$ , o zondas laivo atžvilgiu ta pačia kryptimi juda $u'=0{,}70c$ .

Rasti. Zondo greitį $u$ Žemės atskaitos sistemoje.

Modelis ir sąlygos. Abi sistemos inercinės, greičiai kolineariai ir jų ženklai teigiami ta pačia pasirinkta kryptimi.

Vienetai. Skaičiuojame $c$ dalimis; gautas koeficientas prie $c$ yra bedimensis.

Skaičiavimas.

$\frac uc=\frac{0{,}70+0{,}80}{1+(0{,}70)(0{,}80)}=\frac{1{,}50}{1{,}56}=0{,}961538.$

Atsakymas. Zondo greitis Žemės sistemoje yra $u\approx0{,}962c$ .

Patikra. Rezultatas didesnis už abu pradinius greičius, bet neviršija $c$ ; klasikinė $1{,}50c$ suma pažeistų modelio ribą.

4. Vieno įvykio Lorenco transformacija

Duota. Sistemoje $S$ įvykio koordinatės $x=600\ \text{m}$ ir $t=3{,}00\ \mu\text{s}$ ; sistema $S'$ juda $v=0{,}600c$ ir pradžios sutapo ties $t=0$ .

Rasti. To paties įvykio koordinates $x'$ ir $t'$ bei patikrinti erdvėlaikio intervalo invariantiškumą.

Modelis ir sąlygos. Taikome standartines vienmates Lorenco transformacijas; skaitinei patikrai imame $c=3{,}00\cdot10^8\ \text{m/s}$ , gravitacijos nepaisome.

Vienetai. $t=3{,}00\cdot10^{-6}\ \text{s}$ ; sandauga $vt$ ir santykis $vx/c^2$ atitinkamai turi metrų ir sekundžių vienetus.

Skaičiavimas. $\gamma=1{,}25$ , $vt=540\ \text{m}$ , $vx/c^2=1{,}20\ \mu\text{s}$ , todėl

$x'=1{,}25(600-540)=75{,}0\ \text{m},$

$t'=1{,}25(3{,}00-1{,}20)\ \mu\text{s}=2{,}25\ \mu\text{s}.$

Intervalai: $(ct)^2-x^2=(900)^2-(600)^2=450000\ \text{m}^2$ ir $(ct')^2-x'^2=(675)^2-(75)^2=450000\ \text{m}^2$ .

Atsakymas. $x'=75{,}0\ \text{m}$ ir $t'=2{,}25\ \mu\text{s}$ ; abiejose sistemose $\Delta s^2=4{,}50\cdot10^5\ \text{m}^2$ .

Patikra. Erdvėlaikio intervalai tiksliai sutampa, todėl transformacijos ženklai ir vienetai nuoseklūs; $|x'|<ct'$ rodo laikišką įvykio atskyrimą nuo pradžios.

Konceptualūs ir duomenų analizės pavyzdžiai

Traukinio žaibai. Du erdviškai atskirti žaibai, vienalaikiai perono sistemoje, judančio traukinio sistemoje nėra vienalaikiai. Tai ne vien signalų atėjimo vėlavimas: pataisius sklidimo laiką pagal invariantų $c$ , Lorenco laiko koordinatės vis tiek skiriasi.

Dvynių situacija. Keliaujantis dvynys apsisuka, todėl jo kelionės negalima aprašyti viena inercine sistema. Dviejų dvynių pasaulio linijos tarp susitikimų skirtingos, todėl skiriasi jų savieji laikai; tai neprieštarauja inercinių sistemų lygiavertiškumui.

Praktinė veikla — `EDITORIAL`: erdvėlaikio diagrama

Pagal pateiktą autorinę diagramą nubraižykite $ct$ ir $x$ ašis, šviesos signalus $45^\circ$ linijomis ir dviejų objektų pasaulio linijas. Pasirinkite du įvykius, vienalaikius $S$ sistemoje, ir Lorenco laiko transformacija apskaičiuokite jų $\Delta t'$ sistemai, judančiai $0{,}60c$ . Liniuotės nuskaitymo neapibrėžtį įvertinkite kaip pusę smulkiausios padalos ir atskirkite brėžinio kokybinę paskirtį nuo skaitinio rezultato. Tai redakcinė modeliavimo veikla, o ne atskiras BP reikalaujamas eksperimentas.

Dažnos klaidos ir miskoncepcijos

Lorenco formulėje $t'$ praleisti narį $vx/c^2$ arba supainioti jo ženklą.
Vienalaikiškumo reliatyvumą aiškinti vien šviesos signalo kelionės trukme.
Neidentifikuoti, kuris intervalas yra savasis, ir automatiškai parinkti mažesnį skaičių.
Ilgio sutrumpėjimą taikyti skersinei dimensijai arba galų padėtis matuoti ne tuo pačiu stebėtojo sistemos laiku.
Koordinatinį ilgį tapatinti su momentine fotografine išvaizda.
Specialiosios teorijos formules be išlygų taikyti pagreitintam judėjimui ar stipriam gravitaciniam laukui.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Lorenco transformacijos išlaiko šviesos greitį ir erdvėlaikio intervalą invariantiškus.
Erdviškai atskirtų įvykių vienalaikiškumas priklauso nuo inercinės atskaitos sistemos.
Laiko sulėtėjimas ir ilgio sutrumpėjimas gaunami iš Lorenco transformacijų, kai teisingai nustatomas savasis laikas arba ilgis.
Reliatyvistinis greičių sudėjimas artėja prie klasikinės formulės mažų greičių riboje, bet neleidžia viršyti $c$ .

Savikontrolė

Kokie yra du specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai?
Kaip iš sąlygų atpažinti savąjį laiką ir savąjį ilgį?
Ką Lorenco laiko transformacija sako apie erdviškai atskirtus vienalaikius įvykius?
Kodėl ilgio matavimui būtina vienu metu nustatyti abiejų galų padėtis?
Kuriomis sąlygomis čia taikytos formulės nebegalioja tiesiogiai?

Šaltiniai

Rodyti šaltinius

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – §31.4.1 specialiosios reliatyvumo teorijos apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus IV gimnazijos klasės programos atvaizdavimas.
PHY-SRC-NIST-CODATA-2022 – tiksliai apibrėžta šviesos greičio reikšmė.

Specialiojo reliatyvumo prielaidos ir erdvėlaikis