Bangų savybės, superpozicija ir stovinčiosios bangos

Mokymosi tikslai

Bangos frontu ir spinduliu vaizduoti sklidimą, atspindį bei lūžį.
Paaiškinti sugertį, difrakciją ir skersinių bangų poliarizaciją.
Taikyti superpozicijos principą konstruktyviajai bei destruktyviajai interferencijai.
Nustatyti stovinčiosios bangos mazgus, pūpsnius ir leidžiamus dažnius pagal ribines sąlygas.

Prisimink

Bangos ilgis yra atstumas tarp vienodos fazės taškų, o dažnį nustato šaltinis. Terpėje pasikeitus bangos greičiui, ties riba dažnis išlieka, todėl keičiasi bangos ilgis.

Sąvokos ir simboliai

Bangos frontas – vienodos fazės taškų paviršius arba linija.
Spindulys – bangos sklidimo kryptį rodanti linija, statmena frontui vienalytėje izotropinėje terpėje.
Difrakcija – bangos sklidimo krypties išplitimas ties kliūtimis ar angomis.
Poliarizacija – skersinės bangos svyravimų krypčių atranka.
Superpozicija – persidengusių bangų nuokrypiai kiekviename taške algebriškai sudedami.
Mazgas – stovinčiosios bangos taškas, kurio amplitudė lygi nuliui; pūpsnis – didžiausios amplitudės sritis.

Teorija

Atspindys, lūžis, sugertis ir difrakcija

Atspindžio kampas lygus kritimo kampui; abu matuojami nuo statmens ribai. Lūžtant bendru atveju keičiasi sklidimo greitis ir kryptis. Plokščių bangų spinduliams:

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_1}{v_2},$

kur $\alpha$ yra kritimo, $\beta$ – lūžio kampas. Šis santykis taikomas vienalytėms terpėms ir vienam dažniui.

Sugerties metu dalis bangos energijos pereina į terpės vidinę energiją ar kitus sužadinimus. Difrakcija ryškiausia, kai angos ar kliūties matmuo panašus į bangos ilgį; kai anga daug platesnė už $\lambda$ , už jos banga išsiskleidžia mažai.

Poliarizuoti galima tik skersinę bangą. Išilginės garso bangos dujose neturi skersinės svyravimo krypties, kurią galėtų atrinkti poliarizatorius.

Brėžinyje bangos frontai žymimi vienodos fazės linijomis, o spinduliai — statmenomis frontams energijos sklidimo kryptimis. Atspindyje spindulys pakeičia kryptį, lūžyje pasikeičia frontų tarpas ir spindulio kampas, sugertyje mažėja amplitudė, difrakcijoje frontas išsiskleidžia už angos, o superpozicijoje vienoje srityje persidengia keli frontai. Poliarizacijos brėžinyje papildomai būtina parodyti skersinių svyravimų kryptį; vien spindulio linija poliarizacijos būsenos nenusako.

Bangos frontų ir spindulių brėžinių rinkinys: plokščios bangos frontai su statmenu spinduliu, atspindys, lūžis su pakitusiu frontų tarpu, sugertis su mažėjančia amplitude, difrakcija pro angą ir dviejų bangų superpozicijos sritis; kryptys pažymėtos rodyklėmis

Nepoliarizuotos ir tiesiškai poliarizuotos skersinės bangos vaizdas: spindulys rodo sklidimą x kryptimi, apskritos yz plokštumos žymi bangos frontus, o elektrinio lauko rodyklės parodo atsitiktines arba vienos krypties skersines osciliacijas

Superpozicija ir interferencija

Persidengus dviem koherentinėms bangoms, jų fazių skirtumas laikui bėgant yra pastovus. Bendrajame modelyje stebėjimo taško fazių skirtumas yra

$\Delta\varphi=\frac{2\pi\Delta d}{\lambda}+\Delta\varphi_0,$

kur $\Delta\varphi_0$ – pradinis šaltinių fazių skirtumas. Konstruktyviajai interferencijai reikia $\Delta\varphi=2\pi k$ , o destruktyviajai – $\Delta\varphi=(2k+1)\pi$ . Tik vienodos pradinės fazės šaltiniams ( $\Delta\varphi_0=0$ ) tai virsta paprastomis kelio skirtumo sąlygomis:

konstruktyvusis sustiprėjimas: $\Delta d=k\lambda$ ;
destruktyvusis susilpnėjimas: $\Delta d=(k+1/2)\lambda$ .

Čia $k$ – sveikasis skaičius. Destruktyvioji interferencija nereiškia energijos sunaikinimo: energijos srautas persiskirsto erdvėje.

Stovinčiosios bangos

Ideali stovinčioji banga su tikrais nulinės amplitudės mazgais susidaro susidėjus dviem priešingomis kryptimis sklindančioms vienodo dažnio ir vienodų amplitudžių bangoms. Jei amplitudės tik panašios, gaunamas dalinės stovinčiosios bangos vaizdas: minimumuose amplitudė nelygi nuliui. Idealiu atveju atstumas tarp gretimų mazgų arba pūpsnių yra $\lambda/2$ , tarp mazgo ir artimiausio pūpsnio – $\lambda/4$ .

Stygai, pritvirtintai abiejuose galuose, abu galai yra mazgai:

$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$

Viename gale uždaram, kitame atviram oro stulpui uždarame gale yra poslinkio mazgas, atvirame – pūpsnis. Leidžiami tik nelyginiai ketvirtinių bangų režimai:

$L=(2k-1)\frac{\lambda}{4},\quad k=1,2,3,\ldots$

Formulės ir SI vienetai

$\sin\alpha/\sin\beta=v_1/v_2$ bangos lūžiui; kampai matuojami nuo statmens.
Kai šaltinių pradinis fazių skirtumas $\Delta\varphi_0=0$ , $\Delta d=k\lambda$ duoda konstruktyviąją, o $\Delta d=(k+1/2)\lambda$ – destruktyviąją interferenciją; kitu atveju būtina naudoti visą fazių skirtumą.
$L=n\lambda_n/2$ ir $f_n=nv/(2L)$ abiejuose galuose pritvirtintai stygai.
$L=(2k-1)\lambda/4$ viename gale uždaram oro stulpui.
Ilgiai matuojami metrais, dažnis – Hz, bangos greitis – m/s.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Lūžusi mechaninė banga

Duota. $v_1=4{,}0\ \text{m/s}$ , $v_2=2{,}5\ \text{m/s}$ , $\alpha=40^\circ$ .

Rasti. Lūžio kampą $\beta$ .

Modelis ir sąlygos. Plokščia vieno dažnio banga pereina dviejų vienalyčių izotropinių terpių ribą; kampai matuojami nuo statmens ir taikoma $\sin\alpha/\sin\beta=v_1/v_2$ .

Vienetai. Greičių santykis bedimensis; skaičiuotuvo kampų režimas — laipsniai.

Skaičiavimas.

$\sin\beta=\sin40^\circ\frac{v_2}{v_1} =\sin40^\circ\cdot\frac{2{,}5}{4{,}0}\approx0{,}4017.$

Skaičiuodami tiesiai iš pradinių duomenų gauname

$\beta=\arcsin\left(\sin40^\circ\frac{2{,}5}{4{,}0}\right)=23{,}7^\circ.$

Atsakymas. $\beta\approx23{,}7^\circ$ .

Patikra. Antroje terpėje greitis mažesnis, todėl spindulys turi lūžti statmens link: $23{,}7^\circ<40^\circ$ . Sinuso argumentas apie 0,402 patenka į leistiną intervalą $[-1;1]$ .

2. Stygos pagrindinis dažnis

Duota. Styga $L=0{,}65\ \text{m}$ , bangos greitis joje $v=260\ \text{m/s}$ .

Rasti. Pagrindinį $f_1$ ir trečiosios harmonikos $f_3$ dažnius.

Modelis ir sąlygos. Styga vienalytė, pritvirtinta abiejuose galuose, todėl galuose yra mazgai ir $f_n=nv/(2L)$ ; dispersijos bei galų lankstumo nepaisome.

Vienetai. $v$ m/s, $L$ m, todėl $v/(2L)$ vienetas s⁻¹ = Hz.

Skaičiavimas. Pagrindiniam tonui $n=1$ :

$f_1=\frac{v}{2L}=\frac{260}{1{,}30}=200\ \text{Hz}.$

Trečiosios harmonikos dažnis $f_3=3f_1=600\ \text{Hz}$ .

Atsakymas. $f_1=200\ \text{Hz}$ , $f_3=600\ \text{Hz}$ .

Patikra. Pagrindinės modos bangos ilgis $2L=1{,}30$ m, tad $v/\lambda=260/1{,}30=200$ Hz. Trečioji harmonika turi tris kartus didesnį dažnį, kaip reikalauja sveikų modų seka.

3. Bangos ilgis iš mazgų

Duota. Atstumas nuo pirmojo iki penktojo gretimų mazgų eilėje yra $0{,}72\ \text{m}$ .

Rasti. Bangos ilgį $\lambda$ .

Modelis ir sąlygos. Turime stovinčiąją bangą, o išvardyti mazgai tikrai gretimi; atstumas tarp gretimų mazgų lygus $\lambda/2$ .

Vienetai. Atstumas pateiktas metrais, todėl $\lambda$ taip pat gausime metrais.

Skaičiavimas. Tarp penkių mazgų yra keturi tarpai po $\lambda/2$ :

$0{,}72=4\frac{\lambda}{2}=2\lambda,$

$\lambda=0{,}36\ \text{m}.$

Atsakymas. $\lambda=0{,}36\ \text{m}$ .

Patikra. Gretimų mazgų tarpas pagal atsakymą $0{,}18$ m, o keturi tokie tarpai sudaro $0{,}72$ m. Bangos ilgis teigiamas ir dvigubai didesnis už mazgų tarpą.

4. Uždaro vamzdžio pagrindinis dažnis

Duota. Viename gale uždaro vamzdžio ilgis $L=0{,}425\ \text{m}$ , garso greitis $v=340\ \text{m/s}$ . Kraštų pataisos nepaisoma.

Rasti. Pagrindinį dažnį $f_1$ ir kitą leidžiamą dažnį.

Modelis ir sąlygos. Vamzdis viename gale idealiai uždaras, kitame atviras: poslinkio mazgas ir pūpsnis sudaro ketvirtį bangos. Oro temperatūra atitinka duotą $v$ , kraštų pataisos nepaisoma.

Vienetai. Ilgis m ir greitis m/s, todėl dažnis Hz.

Skaičiavimas. Pagrindiniam režimui $L=\lambda/4$ , taigi $\lambda=4L=1{,}70\ \text{m}$ .

$f_1=\frac{v}{\lambda}=\frac{340}{1{,}70}=200\ \text{Hz}.$

Kitas leidžiamas dažnis yra $3f_1=600\ \text{Hz}$ , ne $2f_1$ .

Atsakymas. $f_1=200\ \text{Hz}$ , o kitas leidžiamas dažnis yra $f_3=600\ \text{Hz}$ .

Patikra. $v/f_1=1{,}70$ m ir ketvirtis šio ilgio yra 0,425 m. Kitas dažnis 600 Hz yra $3f_1$ , nes uždarame–atvirame vamzdyje leidžiamos tik nelyginės harmonikos; dydžio eilė fiziškai prasminga.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Dvi bangos susitinka. Virvės impulsai persidengimo metu susideda, o po to juda toliau išlaikydami savo formas tiek, kiek terpė elgiasi tiesiškai. Jie „neatsitrenkia“ kaip kieti kūnai.

Durų anga ir garsas. Garsą už kampo girdime todėl, kad įprastų garsų bangos ilgis gali būti palyginamas su durų angos matmenimis. Regimosios šviesos bangos ilgis daug mažesnis, todėl kasdienėse angose jos difrakcija labai menka.

Praktinė veikla: poliarizacija ir superpozicija

Kilmė: BP_REQUIRED — §31.1.4, PH12-A01-R04-E04. Atlikite tris aiškiai atskirtas dalis:

Virtualioje bangų vonelėje arba virve parodykite dviejų mechaninių impulsų superpoziciją, išmatuokite mazgų tarpus stovinčiojoje bangoje ir palyginkite su $\lambda/2$ .
Virtualiame dvimatės skersinės mechaninės bangos modelyje pasirinkite vertikalią, horizontalią ir $45^\circ$ poslinkio kryptį, o prieš stebėjimo tašką įjunkite kryptinį „plyšį“, praleidžiantį tik vieną poslinkio dedamąją. Esant $0^\circ$ , $45^\circ$ ir $90^\circ$ kampų skirtumams išmatuokite perduotos amplitudės modulį ir patikrinkite $A_{\mathrm{out}}=A_{\mathrm{in}}|\cos\varphi|$ , kur „in“ reiškia įeinančią, o „out“ – išėjusią bangą. Tai skersinės mechaninės bangos poliarizacijos modelis; jis netaikomas išilginei garso bangai ore.
Naudokite du sertifikuotus poliarizacinius filtrus prieš saugų baltos šviesos šaltinį: sukite vieną filtrą ir registruokite santykinį ryškį. Lentelėje nurodykite kampą, ryškį bei nuskaitymo skiriamąją gebą; atskirkite mechaninės ir elektromagnetinės bangos poliarizaciją nuo bangų superpozicijos.

Sauga. Nežiūrėkite į Saulę ar lazerį per filtrus, virvės galus tvirtai laikykite arba pritvirtinkite, o stebėtojus laikykite už virvės svyravimo plokštumos.

Dažnos klaidos

Kritimo kampą matuoti nuo ribos, o ne nuo statmens.
Difrakciją laikyti vien „bangos užlinkimu“, nepaisant angos ir $\lambda$ santykio.
Teigti, kad destruktyvioji interferencija sunaikina energiją.
Mazgų skaičių supainioti su tarpų tarp mazgų skaičiumi.
Atviro ir uždaro vamzdžio ribinėms sąlygoms taikyti tą pačią harmonikų seką.
Bandyti poliarizuoti išilginę garso bangą ore.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Bangos gali atsispindėti, lūžti, būti sugeriamos ir difraguoti.
Superpozicija paaiškina interferenciją ir stovinčiąsias bangas.
Stovinčiosios bangos režimus nustato sistemos ribinės sąlygos.
Poliarizacija yra skersinių bangų požymis.

Savikontrolė

Kaip susiję bangos frontas ir spindulys?
Kada difrakcija ryškiausia?
Kuo stovinčioji banga skiriasi nuo viena kryptimi sklindančios bangos?
Kokie atstumai tarp mazgų ir pūpsnių?
Kodėl uždarame vamzdyje nėra visų sveikų harmonikų?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – §31.1.4 bangų savybių, superpozicijos ir poliarizacijos apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus programos atvaizdavimas.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – 25 priedo §31.1.4 pažodinis normatyvinis turinys ir privalomų tyrimų apimtis.