Harmoniniai svyravimai

Mokymosi tikslai

Apibūdinti svyravimą amplitude, periodu, dažniu, kampiniu dažniu ir pradine faze.
Iš koordinatės lygties rasti kūno padėtį, greitį ir pagreitį.
Susieti $x(t)$ , $v(t)$ ir $a(t)$ grafikus bei paaiškinti jų fazių skirtumus.
Taikyti energijos tvermę idealiai harmoninei sistemai ir įvardyti modelio ribas.

Prisimink

Tolygiai apskritimu judančio taško projekcija į skersmenį kinta sinusoidės dėsniu. Šis geometrinis modelis padeda suprasti harmoninio svyravimo fazę, tačiau nereiškia, kad pats svyruojantis kūnas juda apskritimu.

Sąvokos ir simboliai

Pusiausvyros padėtis – padėtis, kurioje atstojamoji jėga lygi nuliui.
Amplitudė $A$ – didžiausias nuokrypio modulis, SI vienetas metras (m).
Periodas $T$ – vieno viso svyravimo trukmė, sekundė (s).
Dažnis $f$ – svyravimų skaičius per sekundę, hercas (Hz): $f=1/T$ .
Kampinis dažnis $\omega=2\pi f=2\pi/T$ , SI vienetas rad/s.
Fazė $\varphi=\omega t+\varphi_0$ nusako svyravimo būseną konkrečiu laiku; radianas yra bedimensis.

Teorija

Harmoninio svyravimo modelis

Harmoninį svyravimą sukuria atstatomoji jėga, proporcinga nuokrypiui ir nukreipta pusiausvyros link:

$F=-kx.$

Kai masė pastovi, iš antrojo Niutono dėsnio gauname $a=-\omega^2x$ . Vienas lygties užrašymo variantas:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0),$

$v(t)=-\omega A\sin(\omega t+\varphi_0),$

$a(t)=-\omega^2A\cos(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2x.$

Didžiausi moduliai yra $v_{\max}=\omega A$ ir $a_{\max}=\omega^2A$ . Ties kraštinėmis padėtimis $|x|=A$ , greitis lygus nuliui, o pagreičio modulis didžiausias. Pusiausvyroje $x=0$ , pagreitis nulinis, o greičio modulis didžiausias.

Šios lygtys tiksliai aprašo idealų harmoninį osciliatorių. Realioje sistemoje trintis slopina amplitudę, o dideli nuokrypiai gali pažeisti proporcingumo sąlygą.

Koordinatės $x(t)$ grafiko braižymas ir analizė

Grafiko horizontaliojoje ašyje žymimas laikas $t$ sekundėmis, vertikaliojoje – koordinatė $x$ metrais. Pirmiausia pažymimos amplitudės ribos $+A$ ir $-A$ bei vieno periodo trukmė $T$ . Kai $\varphi_0=0$ ir $x=A\cos\omega t$ , vienam ciklui pakanka penkių atraminių taškų:

$t$	$0$	$T/4$	$T/2$	$3T/4$	$T$
$x$	$+A$	$0$	$-A$	$0$	$+A$

Taškai sujungiami tolygia kosinusoide, o ne tiesių atkarpų laužte. Judėjimo kryptis tikrinama pagal grafiko nuolydį $v=dx/dt$ : nuo $t=0$ iki $T/4$ nuolydis neigiamas, ties $T/4$ jo modulis didžiausias, o kraštinėse padėtyse nuolydis nulinis. Nenulinė pradinė fazė nekeičia $A$ ir $T$ , bet grafiką laiko ašimi pastumia per $-\varphi_0/\omega$ ; todėl vien iš amplitudės negalima nustatyti pradinės padėties ar krypties. Ši braižymo procedūra taikoma idealiam pastovios amplitudės harmoniniam judėjimui; slopinamo svyravimo gaubtinė laikui bėgant mažėja.

Energija

Spyruokliniam osciliatoriui, kai nėra nuostolių,

$E=E_k+E_p=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=\frac{kA^2}{2}.$

Kinetinė ir potencinė energijos kinta, bet jų suma pastovi. $E_k$ ir $E_p$ kitimo dažnis yra du kartus didesnis už koordinatės dažnį, nes šių energijų išraiškose yra $x^2$ ir $v^2$ .

Jei pasirenkame $x=A\cos\omega t$ , tuomet

$E_p(t)=\frac{kA^2}{2}\cos^2\omega t,\qquad E_k(t)=\frac{kA^2}{2}\sin^2\omega t.$

Todėl abiejų energijų periodas yra $T/2$ : kraštinėse padėtyse visa energija potencinė, pusiausvyroje — kinetinė, o idealiame modelyje $E_k+E_p$ grafikas yra horizontali tiesė. Realiame matavime šios sumos mažėjimas rodo slopinimą arba neapskaitytus energijos perdavimo kanalus.

Harmoninio spyruoklinio osciliatoriaus energijos grafikai: potencinė energija didžiausia kraštinėse padėtyse, kinetinė — pusiausvyroje, o jų suma idealiame modelyje pastovi; horizontalioji ašis yra laikas t sekundėmis, vertikalioji — energija E džauliais

Formulės ir SI vienetai

$x=A\cos(\omega t+\varphi_0)$ ; $x$ ir $A$ matuojami metrais.
$v=-\omega A\sin(\omega t+\varphi_0)$ , SI vienetas m/s.
$a=-\omega^2x$ , SI vienetas m/s².
$T=1/f$ , $\omega=2\pi f$ ; $T$ – s, $f$ – Hz, $\omega$ – rad/s.
$E=mv^2/2+kx^2/2=kA^2/2$ , SI vienetas J.

Išspręsti pavyzdžiai

1. Periodas, kampinis dažnis ir didžiausias greitis

Duota. Kūnas svyruoja $A=6{,}0\ \text{cm}$ amplitude ir per $10{,}0\ \text{s}$ atlieka 25 svyravimus.

Rasti. $T$ , $f$ , $\omega$ ir $v_{\max}$ .

Modelis ir sąlygos. Laikome, kad judėjimas harmoninis, amplitudė pastovi, o 25 suskaičiuoti ciklai yra pilni. Tada $T=\Delta t/N$ ir $v_{\max}=\omega A$ .

Vienetai. $A=6{,}0\ \text{cm}=0{,}060\ \text{m}$ ; laikas jau pateiktas sekundėmis.

Skaičiavimas.

$T=\frac{10{,}0}{25}=0{,}400\ \text{s},\qquad f=\frac1T=2{,}50\ \text{Hz}.$

$\omega=2\pi f=5\pi\ \text{rad/s}\approx15{,}7\ \text{rad/s}.$

Nenaudodami suapvalintos tarpinės $\omega$ reikšmės:

$v_{\max}=2\pi fA=2\pi\cdot2{,}50\cdot0{,}060=0{,}942\ \text{m/s}.$

Atsakymas. $T=0{,}400\ \text{s}$ , $f=2{,}50\ \text{Hz}$ , $\omega\approx15{,}7\ \text{rad/s}$ , $v_{\max}\approx0{,}94\ \text{m/s}$ .

Patikra. $Tf=1$ , o $\text{s}^{-1}\cdot\text{m}=\text{m/s}$ , todėl dimensijos teisingos. Per $10{,}0$ s esant $T=0{,}400$ s gaunami būtent 25 ciklai; greitis apie $1$ m/s yra prasmingas 6 cm amplitudės ir 2,5 Hz svyravimui.

2. Būsena konkrečiu laiku

Duota. $x=0{,}040\cos(5\pi t)\ \text{m}$ , $t=0{,}10\ \text{s}$ .

Rasti. $x(t)$ , $v(t)$ ir $a(t)$ tuo momentu.

Modelis ir sąlygos. Lygtis yra harmoninio judėjimo kosinusinė forma su $A=0{,}040$ m, $\omega=5\pi$ rad/s ir $\varphi_0=0$ ; greitį ir pagreitį gauname diferencijuodami pagal laiką.

Vienetai. $t$ sekundėmis, $A$ metrais ir $\omega$ rad/s, todėl $x$ bus m, $v$ — m/s, $a$ — m/s².

Skaičiavimas. Fazė $\varphi=5\pi\cdot0{,}10=\pi/2$ .

$x=0{,}040\cos\frac\pi2=0.$

$v=-5\pi\cdot0{,}040\sin\frac\pi2=-0{,}628\ \text{m/s}.$

$a=-(5\pi)^2x=0.$

Atsakymas. $x=0$ , $v=-0{,}628\ \text{m/s}$ , $a=0$ .

Patikra. Kai fazė $\pi/2$ , kūnas kerta pusiausvyrą, todėl $x=a=0$ , o greičio modulis turi būti didžiausias: $\omega A=5\pi\cdot0{,}040=0{,}628$ m/s. Neigiamas ženklas nuosekliai rodo judėjimą prieš pasirinktą teigiamą kryptį.

3. Amplitudė iš energijos

Duota. $m=0{,}20\ \text{kg}$ , $f=2{,}0\ \text{Hz}$ , visa energija $E=0{,}40\ \text{J}$ .

Rasti. Amplitudę.

Modelis ir sąlygos. Laikome idealų harmoninį osciliatorių be energijos nuostolių. Tada $k=m\omega^2$ , o visa energija kraštinėje padėtyje yra $E=kA^2/2$ .

Vienetai. $m$ , $f$ ir $E$ jau SI vienetais; $k$ gausime N/m, amplitudę — metrais.

Skaičiavimas. $\omega=2\pi f=4\pi\ \text{rad/s}$ .

$k=0{,}20(4\pi)^2\approx31{,}6\ \text{N/m}.$

Iš $E=kA^2/2$ , skaičiavimui išlaikydami tikslią $k=m(4\pi)^2$ išraišką:

$A=\sqrt{\frac{2E}{m(4\pi)^2}}=\sqrt{\frac{0{,}80}{0{,}20(4\pi)^2}}=0{,}159\ \text{m}.$

Atsakymas. $A\approx0{,}16\ \text{m}$ .

Patikra. Iš $2E/k$ gaunama dimensija $\text{J}/(\text{N/m})=\text{m}^2$ , todėl šaknis yra metrai. Įstatę $A=0{,}159$ m į $kA^2/2$ , atkuriame apie $0{,}400$ J; teigiama amplitudė fiziškai prasminga.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Fazių ryšys. Kai $x$ yra teigiamas ir didžiausias, $a=-\omega^2x$ yra neigiamas ir didžiausio modulio. Pagreitis visada nukreiptas pusiausvyros link, todėl $a(t)$ grafikas yra priešingos fazės nei $x(t)$ grafikas.

Amplitudės pakeitimas. Idealaus spyruoklinio osciliatoriaus periodas nuo amplitudės nepriklauso, kol galioja Huko dėsnis. Didesnė amplitudė padidina energiją ir didžiausią greitį, bet ne $T$ . Realios spyruoklės esant dideliems pailgėjimams gali elgtis neharmoningai.

Praktinė veikla: judesio jutiklio duomenys

Kilmė: BP_REQUIRED — §31.1.1, PH12-A01-R01-E09. Prie spyruoklės pritvirtintą žinomos masės kūną nedaug patraukite ir paleiskite. Iš anksto nustatykite spyruoklės $k$ (su jo neapibrėžtimi), judesio jutikliu įrašykite $x(t)$ , o programoje išveskite $v(t)$ ir $a(t)$ . Nulinę $x$ padėtį sutapatinkite su statine pusiausvyra.

Kiekvienam laiko taškui apskaičiuokite $E_p=kx^2/2$ , $E_k=mv^2/2$ ir $E=E_p+E_k$ ; viename grafike nubraižykite visas tris $E(t)$ kreives. Patikrinkite $a=-\omega^2x$ tiesiniu $a(x)$ grafiku ir įvertinkite, ar $E$ mažėja daugiau, negu paaiškina $m$ , $k$ , $x$ ir $v$ matavimo neapibrėžtys. Pakartokite su kita maža amplitude, nekeisdami masės.

Tada tą patį jutiklinį tyrimą pakartokite su matematine švytuokle: išmatuokite ilgį $l$ iki kūno masės centro, pasirinkite mažą pradinį kampą ir kampo jutikliu (arba jutiklio funkciją turinčia vaizdo analizės priemone) registruokite $\theta(t)$ . Iš to paties duomenų rinkinio skaičiuokite kampinį greitį $\dot\theta$ , kampinį pagreitį $\ddot\theta$ , tangentinį greitį $v_t=l\dot\theta$ ir tangentinį pagreitį $a_t=l\ddot\theta$ . Energijas skaičiuokite $E_p=mgl(1-\cos\theta)$ ir $E_k=mv_t^2/2$ . Patikrinkite, ar $a_t$ nukreiptas pusiausvyros link, ar $E_p$ maksimumai sutampa su $E_k$ minimumais ir ar $E_p+E_k$ mažėjimą paaiškina slopinimas bei matavimo neapibrėžtys. Jei registruojama tik horizontalioji koordinatė $x(t)$ , ryšius $x\approx l\theta$ , $v_t\approx dx/dt$ ir $a_t\approx d^2x/dt^2$ leidžiama naudoti tik aiškiai pažymėjus mažo kampo artinį; horizontalioji pagreičio dedamoji nėra visas švytuoklės pagreičio vektorius, nes šis turi ir radialiąją dedamąją. Skaitmeniškai diferencijuojant triukšmingus duomenis nurodykite taikytą glodinimą ir palyginkite bent du laiko žingsnius, kad triukšmo nelaikytumėte fiziniu pagreičiu.

Sauga. Neviršykite spyruoklės tamprumo ribos, pritvirtinkite abu stovus, patikrinkite kūnų tvirtinimą ir nelaikykite veido ar rankų nei spyruoklės, nei švytuoklės trajektorijoje. Tai abiejų sistemų jutiklių duomenų ir energijos virsmų tyrimas, ne vien sinusoidės demonstracija.

Dažnos klaidos

Amplitudę tapatinti su visu atstumu tarp kraštinių padėčių; tas atstumas lygus $2A$ .
Dažnį $f$ ir kampinį dažnį $\omega$ laikyti tuo pačiu dydžiu.
Pamesti pradinę fazę arba laipsnius tiesiog įstatyti į formulę, kur skaičiuotuvas laukia radianų.
Manyti, kad pusiausvyroje greitis lygus nuliui.
Formulę $a=-\omega^2x$ taikyti bet kokiam periodiniam, bet neharmoniniam judėjimui.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Harmoninio svyravimo koordinatė kinta sinuso arba kosinuso dėsniu.
$v$ faze paslinktas koordinatės atžvilgiu, o $a=-\omega^2x$ .
Idealiame osciliatoriuje kinetinė ir potencinė energijos virsta viena kita.
Formulės galioja, kai atstatomoji jėga proporcinga nuokrypiui ir nuostoliai nereikšmingi.

Savikontrolė

Kuo skiriasi amplitudė, periodas ir dažnis?
Kuriose padėtyse $v$ ir $a$ moduliai didžiausi?
Kaip iš $x(t)$ lygties nustatyti pradinę fazę?
Kodėl energija kinta dvigubu koordinatės dažniu?
Kokie realūs veiksniai pažeidžia harmoninio osciliatoriaus modelį?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – Fizikos bendrosios programos §31.1.1 svyravimų apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus IV gimnazijos klasės programos atvaizdavimas.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – 25 priedo §31.1.1 pažodinis normatyvinis turinys ir privalomų tyrimų apimtis.

Harmoniniai svyravimai