Mechaninės svyravimo sistemos ir rezonansas

Mokymosi tikslai

Apskaičiuoti idealios spyruoklinės svyruoklės ir matematinės švytuoklės periodus.
Paaiškinti, kada mažųjų kampų ir tiesinės spyruoklės modeliai galioja.
Apibūdinti laisvuosius, slopinamuosius ir priverstinius svyravimus.
Tirti rezonanso kreivę ir vertinti rezonanso naudą bei riziką.

Prisimink

Laisvieji harmoniniai svyravimai vyksta sistemai gavus pradinės energijos ir toliau neveikiant periodinei išorinei jėgai. Realią sistemą paprastai veikia pasipriešinimas, todėl be papildomo energijos tiekimo amplitudė mažėja.

Sąvokos ir simboliai

Savasis dažnis $f_0$ – dažnis, kuriuo ideali sistema laisvai svyruotų.
Slopinimas – mechaninės energijos sklaida, mažinanti amplitudę.
Priverstiniai svyravimai – išorinės periodinės jėgos palaikomi svyravimai.
Rezonansas – ryškus nusistovėjusios amplitudės padidėjimas, kai žadinimo dažnis yra arti sistemos savojo dažnio.
$m$ – masė (kg), $k$ – standumo koeficientas (N/m), $l$ – matematinės švytuoklės ilgis (m), $g$ – laisvojo kritimo pagreitis (m/s²).

Teorija

Sistemos riba, vidinės ir išorinės jėgos

Jėgos skirstymas priklauso nuo pasirinktos sistemos. Jei sistema yra tik svyruojantis kūnas, spyruoklės tamprumo jėga arba sunkio jėgos tangentinė dedamoji yra išorinė atstatomoji jėga. Jei sistema apima kūną ir spyruoklę, jų tarpusavio sąveika yra vidinė, tačiau stovo poveikis, oro pasipriešinimas ir Žemės trauka lieka išoriniai, nebent į sistemos ribą aiškiai įtraukiama ir Žemė. Todėl „laisvieji svyravimai“ nereiškia, kad kūno neveikia jėgos: tai reiškia, kad po pradinio nuokrypio nėra periodinės išorinės žadinimo jėgos. Priverstiniams svyravimams energiją periodiškai perduoda išorinis žadintuvas.

Spyruoklinė svyruoklė

Nuokrypį $x$ skaičiuokime nuo pusiausvyros. Jeigu spyruoklė paklūsta Huko dėsniui, jos masė, oro pasipriešinimas ir kiti nuostoliai nereikšmingi, dinamika yra

$m\ddot x=-kx,\qquad \ddot x+\frac{k}{m}x=0.$

Palyginę su harmoninio osciliatoriaus lygtimi $\ddot x+\omega_0^2x=0$ , gauname $\omega_0^2=k/m$ , todėl

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.$

Vertikalioje sistemoje sunkio jėga tik pastumia pusiausvyros padėtį. Mažiems svyravimams apie naująją pusiausvyrą periodo formulė išlieka tokia pati. Jeigu spyruoklės masė reikšminga, paprastas taškinės masės modelis tampa netikslus.

Matematinė švytuoklė

Matematinę švytuoklę sudaro taškinis kūnas ant lengvo, netąsaus $l$ ilgio siūlo. Tangentine kryptimi antrasis Niutono dėsnis duoda

$ml\ddot\theta=-mg\sin\theta.$

Kai kampas mažas ir $\sin\theta\approx\theta$ radianais, lygtis tampa $\ddot\theta+(g/l)\theta=0$ . Vadinasi, $\omega_0^2=g/l$ ir

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.$

Pagal šį artinį periodas nepriklauso nuo kūno masės ir mažos amplitudės. Didėjant kampui tikras periodas ilgėja, todėl formulės negalima be išlygos taikyti dideliems nuokrypiams.

Slopinimas ir rezonansas

Slopinimo jėga išsklaido mechaninę energiją, dažniausiai paversdama ją vidine energija. Veikiant išorinei periodinei jėgai po pereinamojo proceso sistema svyruoja žadinimo dažniu. Nusistovėjusi amplitudė priklauso nuo žadinimo dažnio ir slopinimo:

mažas slopinimas lemia aukštą ir siaurą rezonanso kreivę;
didesnis slopinimas sumažina didžiausią amplitudę ir išplatina kreivę;
rezonanso dažnis slopinamoje sistemoje gali būti šiek tiek mažesnis už neslopintos sistemos savąjį dažnį.

Rezonansas naudingas derinant muzikos instrumentus, jutiklius ar radijo grandines, bet pavojingas konstrukcijoms ir mechanizmams, jei sukelia per dideles deformacijas.

Mechaninio osciliatoriaus ir LC kontūro analogija

Abiejų idealių sistemų lygties forma vienoda:

$m\ddot x+kx=0,\qquad L\ddot q+\frac{q}{C}=0.$

Atitikmenys yra $x\leftrightarrow q$ , $v=\dot x\leftrightarrow i=\dot q$ , $m\leftrightarrow L$ ir $k\leftrightarrow1/C$ . Kinetinė $mv^2/2$ bei spyruoklės $kx^2/2$ energijos formaliai atitinka ritės $Li^2/2$ ir kondensatoriaus $q^2/(2C)$ energijas. Esminis skirtumas: mechaninėje sistemoje juda masę turintis kūnas, o LC kontūre kinta krūvis, srovė ir elektromagnetinių laukų energija; mechaniniai bei elektriniai nuostoliai taip pat kyla iš skirtingų sąveikų. Analogiška matematika nėra teiginys, kad fizikiniai dydžiai tapatūs.

Formulės ir SI vienetai

$T=2\pi\sqrt{m/k}$ spyruoklinei svyruoklei; $m$ – kg, $k$ – N/m, $T$ – s.
$T=2\pi\sqrt{l/g}$ matematinei švytuoklei mažų kampų srityje; $l$ – m, $g$ – m/s².
$f_0=1/T$ ; dažnis matuojamas hercais.
$T^2=(4\pi^2/g)l$ leidžia tiesės nuolydžiu eksperimentiškai nustatyti $g$ .

Išspręsti pavyzdžiai

1. Spyruoklinės svyruoklės periodas

Duota. $m=0{,}250\ \text{kg}$ , $k=40{,}0\ \text{N/m}$ .

Rasti. $T$ ir $f_0$ .

Modelis ir sąlygos. Kūną ir lengvą spyruoklę laikome idealiu harmoniniu osciliatoriumi: galioja Huko dėsnis, slopinimas mažas, o nuokrypis matuojamas nuo pusiausvyros.

Vienetai. Masė pateikta kg, standumas N/m, todėl galima tiesiogiai taikyti SI formulę.

Skaičiavimas.

$T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}250}{40{,}0}}=2\pi\sqrt{0{,}00625}=0{,}497\ \text{s}.$

Nenaudodami suapvalintos $T$ reikšmės:

$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=2{,}01\ \text{Hz}.$

Atsakymas. $T\approx0{,}497\ \text{s}$ , $f_0\approx2{,}01\ \text{Hz}$ .

Patikra. $m/k$ dimensija yra $\text{s}^2$ , todėl šaknis turi sekundės dimensiją, o $Tf_0\approx1$ . Mažesnis nei sekundės periodas yra prasmingas gana standžiai spyruoklei ir 0,25 kg masei.

2. Švytuoklės ilgis pagal periodą

Duota. Mažo kampo švytuoklės periodas $T=1{,}80\ \text{s}$ , $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

Rasti. Švytuoklės ilgį $l$ .

Modelis ir sąlygos. Taikome matematinės švytuoklės mažųjų kampų modelį: siūlas lengvas ir netąsus, kūnas taškinis, slopinimas menkas, $\sin\theta\approx\theta$ .

Vienetai. $T$ sekundėmis ir $g$ m/s², todėl apskaičiuotas $l$ bus metrais.

Skaičiavimas.

$l=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 =9{,}81\left(\frac{1{,}80}{2\pi}\right)^2 =0{,}805\ \text{m}.$

Atsakymas. Švytuoklės ilgis apie $0{,}805\ \text{m}$ .

Patikra. $gT^2$ dimensija yra metras. Įstačius $l=0{,}805$ m atgal į periodo formulę gaunama $T\approx1{,}80$ s; mažesnio nei metro ilgio švytuoklei toks periodas yra tikėtinas.

3. Standumo koeficientas iš matavimų

Duota. Prie spyruoklės pritvirtinus $0{,}400\ \text{kg}$ kūną, 20 svyravimų trunka $16{,}0\ \text{s}$ .

Rasti. Spyruoklės standumo koeficientą $k$ .

Modelis ir sąlygos. Laikome, kad mažos amplitudės svyravimai harmoniniai, spyruoklės masė ir slopinimas nereikšmingi. Kelių ciklų laikas dalijamas iš pilnų ciklų skaičiaus.

Vienetai. Masė kg, visas laikas s; gautas periodas s, o $k$ — N/m.

Skaičiavimas. Vieno svyravimo periodas:

$T=\frac{16{,}0}{20}=0{,}800\ \text{s}.$

Pertvarkome $T=2\pi\sqrt{m/k}$ :

$k=\frac{4\pi^2m}{T^2} =\frac{4\pi^2\cdot0{,}400}{0{,}800^2} =24{,}7\ \text{N/m}.$

Atsakymas. $k\approx24{,}7\ \text{N/m}$ .

Patikra. $m/T^2$ dimensija $\text{kg/s}^2=\text{N/m}$ . Atgal apskaičiuotas periodas yra 0,800 s, tad 20 ciklų trunka 16,0 s; teigiamas standumas fiziškai prasmingas.

4. Rezonanso duomenų interpretacija

Duota. Žadinant sistemą gautos amplitudės: ties 1,8 Hz – 2,1 cm; 2,0 Hz – 4,8 cm; 2,2 Hz – 7,3 cm; 2,4 Hz – 4,5 cm; 2,6 Hz – 2,4 cm.

Rasti. Rezonanso dažnio įvertį ir jo skiriamąją gebą pagal lentelę.

Modelis ir sąlygos. Lyginame tos pačios slopinamos sistemos nusistovėjusias amplitudes, kai žadinimo amplitudė nekinta. Diskretus maksimumas leidžia tik nurodyti geriausią išmatuoto tinklelio tašką. Jei papildomai laikome rezonanso kreivę tolygia ir šiame intervale turinčia vieną maksimumą, mažesni kaimyniniai taškai leidžia tik apriboti tikrąją viršūnę tarp jų.

Vienetai. Dažniai jau Hz, amplitudės cm; konvertuoti nereikia, nes ieškome maksimumo vietos, ne skaičiuojame SI formulę.

Skaičiavimas. Didžiausia išmatuota amplitudė yra 7,3 cm ties 2,2 Hz, o dažnio tinklelio žingsnis – 0,2 Hz. Pagal aiškiai pasirinktą artimiausio tinklelio taško pateikimo konvenciją galima rašyti $2{,}2\pm0{,}1\ \text{Hz}$ , tačiau tai nėra duomenimis garantuojamas tikrojo maksimumo pasikliautinasis intervalas. Iš mažesnių amplitudžių ties 2,0 ir 2,4 Hz bei tolygaus vieno maksimumo modelio tegalime teigti $2{,}0<f_r<2{,}4\ \text{Hz}$ .

Atsakymas. Geriausias išmatuoto tinklelio taškas yra $f_r\approx2{,}2\ \text{Hz}$ , tinklelio skiriamoji geba – 0,2 Hz. Taikant artimiausio tinklelio taško konvenciją įvertis būtų $2{,}2\pm0{,}1\ \text{Hz}$ ; iš pačių duomenų ir tolygaus vieno maksimumo prielaidos tikroji viršūnė apribojama tik $2{,}0<f_r<2{,}4\ \text{Hz}$ .

Patikra. Abipus 2,2 Hz išmatuota amplitudė mažėja, taigi pasirinktas taškas tikrai yra lentelės maksimumas. 0,2 Hz žingsnio duomenys nepagrindžia nei 2,20 Hz, nei siauresnio garantuoto 2,1–2,3 Hz intervalo; tankesni matavimai arba pagrįstas kreivės modelis būtų būtini.

Konceptualūs ir eksperimentiniai pavyzdžiai

Masės pakeitimas. Padidinus spyruoklinės svyruoklės masę keturis kartus, periodas padidėja $\sqrt4=2$ kartus. Matematinės švytuoklės periodas nuo pakabinto kūno masės idealiame modelyje nepriklauso.

Žingsniavimas tiltu. Pavojų sukelia ne vienas žingsnis, o periodiškai tiekiama energija. Jei žingsnių dažnis artimas konstrukcijos virpesių dažniui, svyravimai gali stiprėti; slopintuvai ir dažnio pakeitimas riziką mažina.

Praktinė veikla: Bartono svyruoklės ir $T^2(l)$

Kilmė: BP_REQUIRED — §31.1.1, PH12-A01-R01-E10. Bartono svyruoklės. Ant bendros įtemptos virvelės pakabinkite kelias skirtingo ilgio svyruokles ir vieną žadinančią svyruoklę. Maža, beveik pastovia amplitude judinkite žadintuvą ir po vienodos trukmės matuokite kiekvienos svyruoklės amplitudę. Didžiausia amplitudė turi susidaryti tos svyruoklės, kurios savasis dažnis artimiausias žadintuvo dažniui. Pakartokite pakeitę žadintuvo ilgį; nekeiskite pakabinamų kūnų ar matavimo trukmės. Amplitudės nuskaitymo neapibrėžtį įvertinkite pagal liniuotės skiriamąją gebą ir svyravimo maksimumo sklaidą.

Kilmė: EDITORIAL. $T^2(l)$ papildomas tyrimas. Pasirinkę kelis švytuoklės ilgius, kiekvienu atveju išmatuokite dešimties mažų svyravimų trukmę. Kiekvieną matavimą pakartokite, apskaičiuokite $T$ ir nubraižykite $T^2(l)$ grafiką. Pagal

$T^2=\frac{4\pi^2}{g}l$

tiesės nuolydį $a$ raskite $g=4\pi^2/a$ . Ilgį matuokite nuo pakabos taško iki kūno masės centro; pradžios kampą laikykite mažą ir vienodą.

Sauga. Tvirtai pritvirtinkite stovus ir virvelę, naudokite lengvus kūnus, stovėkite už svyravimo plokštumos ir paleiskite kūnus nestumdami. Jei svyruoklė pradeda liesti kitas, matavimą nutraukite — susidūrimai pažeidžia nepriklausomų osciliatorių modelį.

Dažnos klaidos

Matematinės švytuoklės ilgiu laikyti tik siūlo ilgį, neįskaičiuojant atstumo iki kūno masės centro.
Didelio kampo svyravimui be išlygos taikyti mažųjų kampų formulę.
Rezonansą apibrėžti kaip bet kokius didelės amplitudės svyravimus.
Manyti, kad priverstinė sistema visada svyruoja savoju, o ne žadinimo dažniu.
Teigti, kad slopinimas „sunaikina“ energiją; energija išsisklaido į aplinką.

Kraunama pamokos praktika…

Santrauka

Spyruoklinės svyruoklės periodą lemia $m$ ir $k$ , matematinės švytuoklės – $l$ ir $g$ .
Paprastos formulės remiasi idealiomis bei mažųjų svyravimų sąlygomis.
Rezonansas atsiranda, kai žadinimo dažnis yra arti savojo dažnio.
Slopinimas mažina ir platina rezonanso maksimumą.

Savikontrolė

Kodėl vertikalios spyruoklės periodas nepriklauso nuo sunkio jėgos pastovios dedamosios?
Kada matematinės švytuoklės formulė tampa netiksli?
Kaip masės pakeitimas veikia spyruoklės periodą?
Ką galima ir ko negalima nustatyti iš retos rezonanso duomenų lentelės?
Kaip konstrukcijoje galima mažinti rezonanso riziką?

Šaltiniai

PHY-SRC-BP-V1269 ir PHY-SRC-BP-V861-2024 – §31.1.1 mechaninių svyravimų, rezonanso ir tyrimų apimtis.
PHY-SRC-EMOKYKLA-BP – oficialus programos turinio atvaizdavimas.
PHY-SRC-BP-25-V861-DOCX – 25 priedo §31.1.1 pažodinis normatyvinis turinys ir privalomų tyrimų apimtis.

Mechaninės svyravimo sistemos ir rezonansas