Funkcijos sąvoka

Kas yra funkcija?

Funkcija – tai taisyklė (dėsnis), kuri kiekvienai leistinai kintamojo $x$ reikšmei priskiria tiksliai vieną $y$ reikšmę.

Rašome: $y = f(x)$ , skaitome „ $y$ lygu $f$ nuo $x$ ".

$x$ – argumentas (nepriklausomasis kintamasis)
$y$ – funkcijos reikšmė (priklausomasis kintamasis)
$f$ – funkcijos pavadinimas (gali būti $g$ , $h$ ir kt.)

Svarbi mintis: kiekvienam $x$ – tik vienas $y$ . Tačiau skirtingi $x$ gali turėti tą patį $y$ .

Funkcijos reikšmės radimas

Jei $f(x) = 2x + 3$ , tai funkcijos reikšmė taške $x = 4$ :

$f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$

Pavyzdys 1. Duota $f(x) = x^2 - 5x + 6$ . Raskite $f(2)$ ir $f(-1)$ .

$f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$
$f(-1) = 1 + 5 + 6 = 12$

Pavyzdys 2. Duota $g(x) = \dfrac{x+1}{x-3}$ . Raskite $g(5)$ ir $g(0)$ .

$g(5) = \dfrac{6}{2} = 3$
$g(0) = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}$

Apibrėžimo sritis D(f)

Apibrėžimo sritis $D(f)$ – visų leistinų argumento $x$ reikšmių aibė (t. y. tie $x$ , kuriems funkcija turi prasmę).

Pagrindinės taisyklės

Reiškinio tipas	Apribojimas
Trupmena $\dfrac{a}{b}$	Vardiklis $b \neq 0$
Šaknis $\sqrt{a}$	Pošaknio reiškinys $a \geq 0$
Trupmena su šaknimi	Abu apribojimai vienu metu

Pavyzdys 3. Raskite $D(f)$ , jei $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ .

Vardiklis $x - 2 \neq 0$ , todėl $x \neq 2$ .

$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

Pavyzdys 4. Raskite $D(f)$ , jei $f(x) = \sqrt{3 - x}$ .

Pošaknio reiškinys turi būti neneigiamas: $3 - x \geq 0$ , todėl $x \leq 3$ .

$D(f) = (-\infty; 3]$

Pavyzdys 5. Raskite $D(f)$ , jei $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-4}$ .

Reikia dviejų sąlygų vienu metu:

$x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

$D(f) = [-1; 4) \cup (4; +\infty)$

Reikšmių sritis R(f)

Reikšmių sritis $R(f)$ – visų galimų funkcijos reikšmių $y$ aibė.

Pavyzdys 6. $f(x) = x^2$ . Kadangi bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas:

$R(f) = [0; +\infty)$

Pavyzdys 7. $f(x) = 3$ . Funkcija visada lygi 3 (konstantinė):

$R(f) = \{3\}$

Funkcijos grafikas

Funkcijos grafikas – tai visų taškų $(x;\, f(x))$ aibė koordinačių plokštumoje.

Grafiko braižymas pagal lentelę

Braižome funkciją $f(x) = x^2 - 1$ :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$8$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$	$8$

Atidedame taškus ir sujungiame glodžia kreive.

Vertikaliojo brūkšnio testas

Kreivė koordinačių plokštumoje yra funkcijos grafikas tada ir tik tada, kai bet kokia vertikali tiesė kerta ją daugiausiai vieną kartą.

Jei vertikali tiesė kerta kreivę dviejuose ar daugiau taškų – tai nėra funkcija (vienam $x$ tenka keli $y$ ).
Pvz., apskritimas $x^2 + y^2 = 1$ nėra funkcijos grafikas.

Funkcijos užrašymo būdai

Funkciją galima pateikti keliais būdais:

Formule: $f(x) = 2x + 1$
Lentele:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$3$	$5$	$7$	$9$

Grafiku: brėžinys koordinačių plokštumoje
Žodžiais: „kiekvienam natūraliajam skaičiui priskiriamas jo kvadratas"

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 8. Funkcija $f$ užduota grafiku. Iš grafiko nustatykite:

$f(0) = 2$ (grafiko ir $y$ ašies susikirtimo taškas)
$f(3) = 0$ (grafiko ir $x$ ašies susikirtimo taškas)
$D(f) = [-2; 5]$ (projekcija į $x$ ašį)
$R(f) = [-1; 4]$ (projekcija į $y$ ašį)

Pavyzdys 9. Raskite $D(f)$ , jei $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 9}$ .

Vardiklis: $x^2 - 9 \neq 0$ , t. y. $x^2 \neq 9$ , todėl $x \neq 3$ ir $x \neq -3$ .

$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3;\, 3\}$

Pavyzdys 10. Duota $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ . Raskite $D(f)$ ir $f(5)$ .

$2x - 6 \geq 0 \implies x \geq 3$ , todėl $D(f) = [3; +\infty)$
$f(5) = \sqrt{10 - 6} = \sqrt{4} = 2$

Savarankiško darbo užduotys

Duota $f(x) = 3x - 7$ . Apskaičiuokite $f(0)$ , $f(4)$ ir $f(-2)$ .
Duota $g(x) = x^2 + 2x - 3$ . Raskite $g(1)$ , $g(-3)$ ir $g(0)$ .
Raskite funkcijos apibrėžimo sritį: a) $f(x) = \dfrac{5}{x + 4}$ b) $f(x) = \sqrt{x - 2}$ c) $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$
Raskite funkcijos $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 5}$ apibrėžimo sritį.
Nubraižykite funkcijos $f(x) = 2x - 3$ grafiką, sudarę reikšmių lentelę su $x \in \{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .
Ar kreivė, turinti taškus $(1; 3)$ , $(2; 5)$ , $(1; 7)$ , gali būti funkcijos grafikas? Pagrįskite.
Duota $f(x) = |x| + 1$ . Sudarykite reikšmių lentelę su $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ ir nubraižykite grafiką. Kokia $R(f)$ ?
Funkcija $f$ apibrėžta lentele:

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$
$f(x)$ $5$ $2$ $1$ $2$ $5$

Nustatykite $D(f)$ , $R(f)$ ir $f(-2) + f(1)$ .
Raskite tokią $x$ reikšmę, kuriai $f(x) = 0$ , jei $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .
Duota $h(x) = \dfrac{x + 3}{2x - 1}$ . Raskite $D(h)$ ir apskaičiuokite $h(1)$ , $h(-3)$ .