Tiesinė funkcija

Apibrėžimas

Tiesinė funkcija – tai funkcija, užrašoma formule:

$y = kx + b$

kur $k$ ir $b$ – duotieji skaičiai (konstantos).

$k$ – krypties koeficientas (nuolydis)
$b$ – laisvasis narys (tiesės ir $y$ ašies susikirtimo taškas)

Tiesinės funkcijos grafikas visada yra tiesė.

Krypties koeficientas k

Krypties koeficientas $k$ parodo, kiek pakinta $y$ , kai $x$ padidėja 1:

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$k$ reikšmė	Tiesės kryptis
$k > 0$	Tiesė kyla (iš kairės į dešinę)
$k < 0$	Tiesė leidžiasi
$k = 0$	Horizontali tiesė ( $y = b$ )

Kuo didesnis $|k|$ , tuo tiesė statesnė.

Grafiko braižymas

Tiesei nubraižyti pakanka dviejų taškų.

Pavyzdys 1. Nubraižykite $y = 2x - 3$ .

Pasirenkame du $x$ : pvz., $x = 0$ ir $x = 2$ .
Apskaičiuojame $y$ $y$ :
- $x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$ → taškas $(0; -3)$
- $x = 2$ : $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ → taškas $(2; 1)$
Atidedame taškus ir brėžiame tiesę per juos.

Pavyzdys 2. Nubraižykite $y = -x + 4$ .

$x = 0$ : $y = 4$ → taškas $(0; 4)$
$x = 4$ : $y = 0$ → taškas $(4; 0)$

Tiesė leidžiasi, nes $k = -1 < 0$ .

Ypatingi atvejai

Funkcija $y = kx$ (tiesė per koordinačių pradžią)

Kai $b = 0$ , tiesė eina per tašką $(0; 0)$ .

Pavyzdys 3. $y = 3x$ : braižymui pakanka vieno papildomo taško, pvz., $(1; 3)$ .

Funkcija $y = b$ (horizontali tiesė)

Kai $k = 0$ , turime horizontalią tiesę.

Pavyzdys 4. $y = 5$ : horizontali tiesė, einanti per tašką $(0; 5)$ , lygiagreti $x$ ašiai.

Tiesės lygtis per du taškus

Jei žinome du tiesės taškus $(x_1; y_1)$ ir $(x_2; y_2)$ , tai:

Randame nuolydį: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Įstatome į $y = kx + b$ bet kurį tašką ir randame $b$ .

Pavyzdys 5. Raskite tiesės lygtį, einančios per taškus $(1; 3)$ ir $(4; 9)$ .

$k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Įstatome tašką $(1; 3)$ : $3 = 2 \cdot 1 + b$ , todėl $b = 1$ .

$y = 2x + 1$

Pavyzdys 6. Tiesė eina per taškus $(-2; 5)$ ir $(3; -5)$ .

$k = \frac{-5 - 5}{3 - (-2)} = \frac{-10}{5} = -2$

Įstatome tašką $(3; -5)$ : $-5 = -2 \cdot 3 + b$ , todėl $b = 1$ .

$y = -2x + 1$

Tiesės lygtis iš grafiko

Iš grafiko galime nuskaityti:

$b$ – tiesės ir $y$ ašies susikirtimo taškas (kai $x = 0$ )
$k$ – pasirenkame du taškus ant tiesės ir skaičiuojame $k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

Pavyzdys 7. Tiesė kerta $y$ ašį taške $(0; 2)$ ir eina per tašką $(3; 5)$ .

$k = \frac{5 - 2}{3 - 0} = 1, \quad b = 2$

$y = x + 2$

Lygiagrečios tiesės

Dvi tiesės $y = k_1 x + b_1$ ir $y = k_2 x + b_2$ yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai:

$k_1 = k_2 \quad \text{ir} \quad b_1 \neq b_2$

Pavyzdys 8. Tiesės $y = 3x + 1$ ir $y = 3x - 4$ yra lygiagrečios (abi turi $k = 3$ , bet skirtingus $b$ ).

Tiesiniai modeliai

Tiesinė funkcija dažnai naudojama aprašyti kasdienes situacijas.

Pavyzdys 9. Taksi kaina: pradinis mokestis 2 €, kiekvienas kilometras kainuoja 0,80 €. Kaina:

$C(x) = 0{,}8x + 2$

kur $x$ – nuvažiuoti kilometrai.

10 km kelionė: $C(10) = 0{,}8 \cdot 10 + 2 = 10$ €
Kokį atstumą nuvažiavo, jei sumokėta 18 €? $18 = 0{,}8x + 2$ , todėl $x = 20$ km.

Pavyzdys 10. Telefono planas: mėnesinis mokestis 5 €, kiekviena minutė – 0,05 €.

$M(t) = 0{,}05t + 5$

Jei kalbėta 120 min: $M(120) = 0{,}05 \cdot 120 + 5 = 11$ €.

Savarankiško darbo užduotys

Nubraižykite tiesių grafikus vienoje koordinačių plokštumoje: a) $y = x + 2$ b) $y = -2x + 4$ c) $y = 3$
Nustatykite krypties koeficientą $k$ ir laisvąjį narį $b$ : a) $y = -3x + 7$ b) $y = \dfrac{1}{2}x$ c) $y = -4$
Raskite tiesės $y = 2x - 5$ ir koordinačių ašių susikirtimo taškus.
Raskite tiesės lygtį, einančios per taškus $(2; 1)$ ir $(6; 9)$ .
Tiesė eina per taškus $(-1; 4)$ ir $(3; -8)$ . Užrašykite jos lygtį.
Kurios tiesės yra lygiagrečios? a) $y = 2x + 3$ ; b) $y = -2x + 1$ ; c) $y = 2x - 7$ ; d) $y = 3x + 3$
Parduotuvė atidaryta: pirmąjį mėnesį turėjo 200 klientų, kiekvieną kitą mėnesį klientų skaičius didėja 50. Užrašykite funkciją $K(t)$ , kur $t$ – mėnesių skaičius nuo atidarymo. Kiek klientų bus po 8 mėnesių?
Vandens bake yra 100 litrų vandens. Kas minutę išleidžiama 4 litrai. Užrašykite funkciją $V(t)$ ir nustatykite, po kiek minučių bakas bus tuščias.
Tiesės grafike matome, kad tiesė eina per taškus $(0; -1)$ ir $(5; 9)$ . Užrašykite tiesės lygtį ir apskaičiuokite $y$ reikšmę, kai $x = 8$ .
Baseine vanduo pilamas 3 litrais per minutę. Pradiniu momentu baseine jau yra 20 litrų vandens. Užrašykite funkciją, nubrėžkite grafiką ir nustatykite, po kiek minučių baseine bus 80 litrų.

Tiesinė funkcija