Grafikų transformacijos

Grafikų transformacijos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Grafikų transformacijos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Žinomo $y=f(x)$ grafiko transformacijos leidžia braižyti giminingas funkcijas neskaičiuojant daug naujų taškų. Pridėjus skaičių už funkcijos ribų, keičiasi visos $y$ reikšmės, todėl grafikas slenka vertikaliai. Pakeitus argumentą $x-h$, grafikas slenka horizontaliai, tačiau ženklo kryptis atrodo priešinga.

Dauginant funkcijos reikšmes iš $a$, vertikalūs atstumai nuo $x$ ašies padauginami iš $|a|$. Kai $a<0$, kartu gaunamas atspindys į kitą $x$ ašies pusę. Transformacija $f(bx)$ veikia horizontalią kryptį atvirkštiniu koeficientu.

Patikimiausia sekti kelis atraminius taškus ir ypatingus elementus: viršūnę, nulius, asimptotes. Transformacijų seka svarbi, todėl sudėtingą išraišką verta skaityti nuo vidinių argumento pakeitimų iki išorinių reikšmės veiksmų.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$f(x)+k:\ (x;y)\mapsto(x;y+k)$$ $$f(x-h):\ (x;y)\mapsto(x+h;y)$$ $$-f(x):\text{ atspindys į }x\text{ ašį}$$ $$f(-x):\text{ atspindys į }y\text{ ašį}$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Iš $y=x^2$ grafiko gaukite $y=-2(x-3)^2+4$ ir nurodykite viršūnę.

1. Pakeitimas $x-3$ perkelia parabolę 3 vienetais į dešinę.
2. Daugyba iš −2 atspindi grafiką į $x$ ašį ir vertikaliai ištempia 2 kartus.
3. Pridėjus 4 grafikas pakyla 4 vienetais.
4. Pradinė viršūnė $(0;0)$ tampa $(3;4)$.

Atsakymas. Viršūnė $(3;4)$, parabolės šakos nukreiptos žemyn.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• $f(x-2)$ perkelti į kairę, nors poslinkis yra į dešinę.
• Supainioti $-f(x)$ ir $f(-x)$ atspindžius.
• Horizontalų tempimą taikyti tuo pačiu, o ne atvirkštiniu koeficientu.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Kur paslenka $f(x)+5$ grafikas?
2. Kur paslenka $f(x+3)$ grafikas?
3. Koks atspindys gaunamas funkcijoje $-f(x)$?
4. Koks atspindys gaunamas funkcijoje $f(-x)$?
5. Nurodykite $y=(x+2)^2-7$ viršūnę.
6. Iš $y=|x|$ aprašykite $y=|x-4|+1$.
7. Kur nukreiptos $y=-0{,}5x^2$ šakos?
8. Taškas $(2;3)$ yra $f$ grafike. Koks atitinkamas taškas $f(x-5)+4$ grafike?

Atsakymai savitikrai

1. 5 vienetais aukštyn.
2. 3 vienetais į kairę.
3. Į $x$ ašį.
4. Į $y$ ašį.
5. $(-2;-7)$.
6. 4 į dešinę ir 1 aukštyn.
7. Žemyn; parabolė platesnė už $y=x^2$.
8. $(7;7)$.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Grafikų transformacijos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.