Kvadratinių funkcijų modeliai

Kvadratinių funkcijų modeliai

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Kvadratinių funkcijų modeliai“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Koeficiento $a$ ženklas nusako šakų kryptį, o $|a|$ – parabolės siaurumą. Nulinės reikšmės parodo sankirtas su $x$ ašimi, o $c=f(0)$ – sankirtą su $y$ ašimi.

Viršūnės forma $f(x)=a(x-h)^2+k$ iš karto parodo viršūnę $(h;k)$ ir simetrijos ašį $x=h$. Bendrąją formą galima pertvarkyti išskiriant pilnąjį kvadratą, o šakninė forma $a(x-x_1)(x-x_2)$ patogi, kai žinomos abi šaknys.

Kvadratiniai modeliai aprašo plotą, vertikalų judėjimą ar pelną, kai kitimo greitis nėra pastovus. Maksimali arba minimali reikšmė gaunama parabolės viršūnėje, tačiau modelio argumentas dažnai turi prasminį intervalą.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ $$x_V=-b/(2a)$$ $$f(x)=a(x-h)^2+k$$ $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Stačiakampio perimetras 40 m. Viena kraštinė yra $x$. Sudarykite ploto funkciją ir raskite didžiausią plotą.

1. Kitos kraštinės ilgis $20-x$, nes $2x+2y=40$.
2. Plotas $S(x)=x(20-x)=-x^2+20x$.
3. Viršūnės argumentas $x_V=-20/(2\cdot(-1))=10$.
4. Tuomet $S(10)=10\cdot10=100$ m².

Atsakymas. Didžiausias plotas 100 m², kai abi kraštinės po 10 m.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Viršūnės formulėje pamesti minusą prieš $b$.
• Šaknis, viršūnę ir sankirtą su $y$ ašimi laikyti tuo pačiu tašku.
• Priimti algebrinį sprendinį, kuris neatitinka konteksto intervalo.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Nurodykite $y=2(x-3)^2-5$ viršūnę.
2. Kuria kryptimi atverta $y=-4x^2+1$ parabolė?
3. Raskite $y=x^2-9$ šaknis.
4. Raskite $f(x)=x^2-6x+5$ simetrijos ašį.
5. Išskleiskite $(x-2)^2-4$.
6. Sudarykite parabolę su šaknimis 1 ir 5 bei $a=1$.
7. Kokia didžiausia $h(t)=-5t^2+20t+1$ reikšmė?
8. Kokiam intervalui prasmingas stačiakampio modelis $S=x(20-x)$?

Atsakymai savitikrai

1. $(3;-5)$.
2. Žemyn.
3. $x=-3$ ir $x=3$.
4. $x=3$.
5. $x^2-4x$.
6. $y=(x-1)(x-5)$.
7. $h(2)=21$.
8. $0<x<20$.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Kvadratinių funkcijų modeliai. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.