Erdvinės figūros

Erdvinių figūrų sąvokos

Erdvinės figūros (kūnai) – trimatės figūros, turinčios ilgį, plotį ir aukštį.

Pagrindinės charakteristikos:

Tūris $V$ – kūno užimamos erdvės dydis (matuojamas cm³, m³, litrais).
Paviršiaus plotas $S$ – visų kūno sienų (paviršių) plotų suma.

Ryšys: $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litras}$ , $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litrų}$ .

Stačiakampis gretasienis

Stačiakampis gretasienis (dėžės forma) – kūnas su šešiomis stačiakampėmis sienomis. Matmenys: ilgis $a$ , plotis $b$ , aukštis $c$ .

Tūris

$V = a \cdot b \cdot c$

Paviršiaus plotas

$S = 2(ab + bc + ac)$

Erdvinė įstrižainė

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Pavyzdys 1. Gretasienis $5 \times 3 \times 4$ cm.

$V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$ cm³
$S = 2(15 + 12 + 20) = 2 \cdot 47 = 94$ cm²

Pavyzdys 2. Akvariumas (be viršaus) matmenų $60 \times 30 \times 40$ cm. Kiek litrų vandens jame telpa?

$V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ litrai}$

Stiklo plotas (be viršaus): $S = 60 \cdot 30 + 2 \cdot 60 \cdot 40 + 2 \cdot 30 \cdot 40 = 1800 + 4800 + 2400 = 9000$ cm² $= 0{,}9$ m².

Kubas

Kubas – gretasienis, kurio visos kraštinės lygios $a$ .

Tūris

$V = a^3$

Paviršiaus plotas

$S = 6a^2$

Erdvinė įstrižainė

$d = a\sqrt{3}$

Pavyzdys 3. Kubo kraštinė 4 cm.

$V = 4^3 = 64$ cm³
$S = 6 \cdot 16 = 96$ cm²
$d = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm

Pavyzdys 4. Kubo tūris 125 cm³. Raskite kraštinę ir paviršiaus plotą.

$a = \sqrt[3]{125} = 5$ cm
$S = 6 \cdot 25 = 150$ cm²

Cilindras

Cilindras – kūnas su dviem apskritais pagrindais ir šoniniu paviršiumi. Pagrindo spindulys $r$ , aukštis $h$ .

Tūris

$V = \pi r^2 h$

Šoninio paviršiaus plotas

$S_{\text{\v{s}on}} = 2\pi r h$

Viso paviršiaus plotas

$S = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$

Pavyzdys 5. Cilindro spindulys 3 cm, aukštis 10 cm.

$V = \pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}7$ cm³
$S_{\text{\v{s}on}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \approx 188{,}5$ cm²
$S = 2\pi \cdot 3 \cdot (10 + 3) = 78\pi \approx 245{,}0$ cm²

Pavyzdys 6. Cilindriniame inde (spindulys 5 cm) vandens aukštis 20 cm. Koks vandens tūris?

$V = \pi \cdot 25 \cdot 20 = 500\pi \approx 1570{,}8 \text{ cm}^3 \approx 1{,}57 \text{ litro}$

Kūgis

Kūgis – kūnas su apskritu pagrindu ir viršūne. Pagrindo spindulys $r$ , aukštis $h$ .

Tūris

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Pavyzdys 7. Kūgio spindulys 6 cm, aukštis 10 cm.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 10 = 120\pi \approx 376{,}99 \text{ cm}^3$

Atkreipkite dėmesį: kūgio tūris yra trečdalis cilindro (to paties $r$ ir $h$ ) tūrio.

Rutulys (sfera)

Rutulys – kūnas, kurio visi taškai nutolę nuo centro ne daugiau kaip spinduliu $r$ .

Tūris

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Paviršiaus plotas (sferos plotas)

$S = 4\pi r^2$

Pavyzdys 8. Rutulio spindulys 6 cm.

$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}8$ cm³
$S = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452{,}4$ cm²

Kūnų išklotinės

Išklotinė – kūno paviršius, „ištiestas" plokštumoje.

Kūnas	Išklotinė
Kubas	6 vienodi kvadratai
Gretasienis	3 poros stačiakampių
Cilindras	2 apskritimai + stačiakampis ( $2\pi r \times h$ )
Kūgis	Apskritimas + sektorius

Išklotinės padeda skaičiuoti paviršiaus plotą ir suprasti kūno sandarą.

Praktiniai uždaviniai

Pavyzdys 9. Kambario matmenys: $5 \times 4 \times 2{,}5$ m. Kiek litrų dažų reikia sienoms (be grindų ir lubų), jei vienas litras dažų padengia 10 m²?

Sienų plotas:

$S_{\text{sienos}} = 2 \cdot 5 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 4 \cdot 2{,}5 = 25 + 20 = 45 \text{ m}^2$

Dažų kiekis: $45 \div 10 = 4{,}5$ litro.

Pavyzdys 10. Vamzdis yra cilindro formos: vidinis spindulys 3 cm, ilgis 2 m = 200 cm. Kiek litrų vandens telpa vamzdyje?

$V = \pi \cdot 9 \cdot 200 = 1800\pi \approx 5654{,}9 \text{ cm}^3 \approx 5{,}65 \text{ litro}$

Formulių suvestinė

Kūnas	Tūris $V$	Paviršiaus plotas $S$
Gretasienis	$abc$	$2(ab + bc + ac)$
Kubas	$a^3$	$6a^2$
Cilindras	$\pi r^2 h$	$2\pi r(h + r)$
Kūgis	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$	—
Rutulys	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$

Savarankiško darbo užduotys

Gretasienio matmenys $8 \times 5 \times 3$ cm. Apskaičiuokite tūrį ir paviršiaus plotą.
Kubo paviršiaus plotas 150 cm². Raskite kraštinę ir tūrį.
Cilindro spindulys 4 cm, aukštis 12 cm. Raskite tūrį ir viso paviršiaus plotą.
Akvariumas (stačiakampis gretasienis) matmenų $80 \times 40 \times 50$ cm. Kiek litrų vandens jame telpa? Kiek stiklo reikia jam pagaminti (be viršaus)?
Baseinas cilindro formos: skersmuo 6 m, gylis 1,5 m. Kiek kubinių metrų vandens jame telpa?
Kubo kraštinė 10 cm. Kokia kubo erdvinė įstrižainė?
Kūgio pagrindo spindulys 5 cm, aukštis 12 cm. Raskite kūgio tūrį.
Futbolo kamuolio skersmuo 22 cm. Raskite jo tūrį ir paviršiaus plotą.
Kambario matmenys $6 \times 4 \times 3$ m. Kambarys turi vieną langą ( $1{,}5 \times 1{,}2$ m) ir vieną durų angą ( $2 \times 0{,}9$ m). Koks dažytinas sienų plotas?
Metalinis vamzdis: išorinis skersmuo 10 cm, vidinis skersmuo 8 cm, ilgis 1 m. Raskite metalo tūrį (tūrių skirtumas tarp išorinio ir vidinio cilindrų).