Trikampio teoremos

Trikampio teoremos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Trikampio teoremos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Panašiųjų trikampių atitinkami kampai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos. Pusiaukampinė priešingą kraštinę dalija santykiu, lygiu prie kampo esančių kraštinių santykiui. Pusiaukraštinė jungia viršūnę su priešingos kraštinės viduriu.

Sinusų teorema susieja kiekvieną kraštinę su prieš ją esančio kampo sinusu ir tinka, kai žinoma priešinga kraštinės bei kampo pora. Kosinusų teorema apibendrina Pitagoro teoremą ir ypač patogi, kai žinomos dvi kraštinės bei kampas tarp jų.

Trikampio plotą galima rasti iš dviejų kraštinių ir kampo tarp jų. Pasirinkus teoremą svarbu teisingai suporuoti kraštinę su priešingu kampu. Gautą rezultatą reikia patikrinti pagal trikampio nelygybę ir kampų sumą.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$ $$S=ab\sin C/2$$ $$BD/DC=AB/AC$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Trikampio kraštinės 7 cm ir 10 cm, kampas tarp jų 60°. Raskite trečią kraštinę ir plotą.

1. Taikome kosinusų teoremą: $c^2=7^2+10^2-2\cdot7\cdot10\cos60^\circ$.
2. $c^2=49+100-70=79$, todėl $c=\sqrt{79}$ cm.
3. Plotas $S=7\cdot10\sin60^\circ/2=35\cdot\sqrt3/2$ cm².

Atsakymas. $c=\sqrt{79}$ cm, $S=35\sqrt3/2$ cm².

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Sinusų teoremoje kraštinę susieti ne su priešingu, o su gretimu kampu.
• Kosinusų teoremoje naudoti ne kampą tarp žinomų kraštinių.
• Ploto formulėje pamiršti dalybą iš dviejų.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Trikampyje $a=8$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$. Raskite $b$.
2. Kraštinės 5 ir 6, kampas tarp jų 90°. Raskite trečią kraštinę.
3. Kraštinės 9 ir 12, kampas tarp jų 30°. Raskite plotą.
4. Pusiaukampinė dalija kraštinę į 4 ir 6. Koks gretimų kraštinių santykis?
5. Panašių trikampių mastelio koeficientas 3. Koks plotų santykis?
6. Ar kraštinės 3, 4 ir 8 sudaro trikampį?
7. Lygiakraščio trikampio kraštinė 10. Raskite plotą.
8. Kada kosinusų teorema virsta Pitagoro teorema?

Atsakymai savitikrai

1. $b=8\sin45^\circ/\sin30^\circ=8\sqrt2$.
2. $\sqrt{61}$.
4. 2 : 3.
5. 9 : 1.
6. Ne, nes $3+4<8$.
7. $25\sqrt3$.
8. Kai įterptinis kampas yra $90^\circ$, nes jo kosinusas lygus 0.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Trikampio teoremos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.