Plokščioji geometrija

Plokščioji geometrija

Pagrindinės sąvokos

• Taškas – padėtis plokštumoje, žymimas didžiąja raide ($A$, $B$, $C$).
• Tiesė – begalinė tiesi linija, neturinti galų taškų.
• Atkarpa – tiesės dalis tarp dviejų taškų. Atkarpos $AB$ ilgis žymimas $|AB|$.
• Spindulys – tiesės dalis, turinti vieną galo tašką.

---

Kampai

Kampas – du spinduliai, turintys bendrą pradžios tašką (viršūnę).

Kampų tipai

Svarbios kampų poros

Gretutiniai kampai – du kampai, kurių suma lygi $180°$:

$\alpha + \beta = 180°$

Kryžminiai kampai – susidaro dviem tiesėms susikirtus. Kryžminiai kampai yra lygūs:

$\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta$

Papildomieji kampai – du kampai, kurių suma lygi $90°$:

$\alpha + \beta = 90°$

---

Lygiagrečios tiesės ir kerpamoji

Kai lygiagrečias tieses ($a \parallel b$) kerta trečioji tiesė (kerpamoji), susidaro aštuoni kampai.

Kampų tipai

Pavyzdys 1. Dvi lygiagrečios tiesės kertamos trečiąja. Vienas kampas lygus $65°$. Raskite likusius.

• Atitinkamasis kampas: $65°$
• Gretutinis kampas: $180° - 65° = 115°$
• Kryžminis vidaus kampas: $65°$
• Vienašalis vidaus kampas: $115°$

Pavyzdys 2. Kryžminiai vidaus kampai yra $(3x + 10)°$ ir $(5x - 20)°$. Raskite $x$.

Kryžminiai vidaus kampai lygūs: $3x + 10 = 5x - 20$, todėl $x = 15$.

Kampai: $3 \cdot 15 + 10 = 55°$.

---

Trikampiai

Kampų suma trikampyje

Bet kurio trikampio vidaus kampų suma lygi $180°$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Pavyzdys 3. Trikampio du kampai: $50°$ ir $70°$. Trečiasis kampas:

$\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$

Trikampių tipai pagal kraštines

Trikampių tipai pagal kampus

Išorinis kampas

Išorinis kampas – kampas, sudarytas iš trikampio kraštinės ir gretimos kraštinės tęsinio.

Trikampio išorinis kampas lygus dviejų negretutinių vidaus kampų sumai:

$\delta = \alpha + \beta$

Pavyzdys 4. Trikampio vidaus kampai: $\alpha = 40°$, $\beta = 75°$. Išorinis kampas prie trečiojo kampo:

$\delta = 40° + 75° = 115°$

---

Keturkampiai

Kampų suma keturkampyje

Bet kurio keturkampio vidaus kampų suma lygi $360°$:

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$

Keturkampių tipai ir savybės

Pavyzdys 5. Lygiagretainio vienas kampas $70°$. Raskite likusius.

• Gretutinis kampas: $180° - 70° = 110°$
• Priešingas kampas: $70°$
• Ketvirtasis kampas: $110°$

Kampai: $70°$, $110°$, $70°$, $110°$.

Pavyzdys 6. Trapecijos trys kampai: $90°$, $90°$, $55°$. Raskite ketvirtąjį kampą.

$\delta = 360° - 90° - 90° - 55° = 125°$

---

Sprendžiami pavyzdžiai

Pavyzdys 7. Lygiašonio trikampio pagrindo kampas $72°$. Raskite viršūnės kampą.

Pagrindo kampai lygūs: $72°$ ir $72°$.

$\gamma = 180° - 72° - 72° = 36°$

Pavyzdys 8. Trikampio kampai santykiu $2:3:4$. Raskite kampus.

Tegu kampai $2x$, $3x$, $4x$.

$2x + 3x + 4x = 180° \implies 9x = 180° \implies x = 20°$

Kampai: $40°$, $60°$, $80°$.

Pavyzdys 9. Stačiojo trikampio vienas smailusis kampas tris kartus didesnis už kitą. Raskite smailiuosius kampus.

Tegu kampai $\alpha$ ir $3\alpha$, o trečiasis $90°$.

$\alpha + 3\alpha + 90° = 180° \implies 4\alpha = 90° \implies \alpha = 22{,}5°$

Kampai: $22{,}5°$ ir $67{,}5°$.

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Trikampio du kampai yra $35°$ ir $85°$. Raskite trečiąjį kampą ir nustatykite trikampio tipą pagal kampus.

2. Lygiašonio trikampio viršūnės kampas $40°$. Raskite pagrindo kampus.

3. Lygiagrečias tieses kerta kerpamoji. Vienas iš susidariusių kampų lygus $118°$. Raskite visus likusius kampus.

4. Du kryžminiai vidaus kampai yra $(2x + 15)°$ ir $(4x - 25)°$. Raskite $x$ ir kampų dydžius.

5. Keturkampio trys kampai: $95°$, $80°$, $110°$. Raskite ketvirtąjį.

6. Rombo vienas kampas $60°$. Raskite visus rombo kampus.

7. Trikampio kampai santykiu $1:2:3$. Raskite kampus ir nustatykite trikampio tipą.

8. Stačiojo trikampio vienas smailusis kampas yra $38°$. Raskite kitą smailųjį kampą ir išorinį kampą prie stataus kampo.

9. Lygiagretainio gretutinių kampų skirtumas $36°$. Raskite visus lygiagretainio kampus.

10. Trikampio išorinis kampas $130°$. Vienas iš negretutinių vidaus kampų $55°$. Raskite visus trikampio vidaus kampus.