Plotų skaičiavimas

Perimetras ir plotas

Perimetras $P$ – figūros kontūro (visų kraštinių) ilgis.
Plotas $S$ – figūros užimamo paviršiaus dydis.

Perimetras matuojamas ilgio vienetais (cm, m), plotas – kvadratiniais vienetais (cm², m²).

Stačiakampis

Stačiakampio kraštinės $a$ ir $b$ :

$S = a \cdot b$

$P = 2(a + b)$

Pavyzdys 1. Stačiakampio kraštinės 8 cm ir 5 cm.

$S = 8 \cdot 5 = 40$ cm²
$P = 2(8 + 5) = 26$ cm

Kvadratas

Kvadrato kraštinė $a$ :

$S = a^2$

$P = 4a$

Pavyzdys 2. Kvadrato kraštinė 6 m.

$S = 6^2 = 36$ m²
$P = 4 \cdot 6 = 24$ m

Pavyzdys 3. Kvadrato plotas 49 cm². Raskite kraštinę ir perimetrą.

$a = \sqrt{49} = 7$ cm
$P = 4 \cdot 7 = 28$ cm

Lygiagretainis

Lygiagretainio pagrindas $a$ , aukštinė $h$ (statmuo nuo pagrindo iki priešingos kraštinės):

$S = a \cdot h$

$P = 2(a + b)$

kur $b$ – šoninė kraštinė.

Pavyzdys 4. Lygiagretainio pagrindas 10 cm, aukštinė 6 cm.

$S = 10 \cdot 6 = 60 \text{ cm}^2$

Trikampis

Pagrindinė formulė

Trikampio pagrindas $a$ , aukštinė $h$ :

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Pavyzdys 5. Trikampio pagrindas 12 cm, aukštinė 7 cm.

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7 = 42 \text{ cm}^2$

Formulė su sinusu

Jei žinomos dvi kraštinės $a$ , $b$ ir kampas $C$ tarp jų:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Pavyzdys 6. Trikampio kraštinės $a = 8$ cm, $b = 10$ cm, kampas tarp jų $C = 30°$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0{,}5 = 20 \text{ cm}^2$

Stačiojo trikampio plotas

Jei statiniai $a$ ir $b$ :

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Trapecija

Trapecijos lygiagrečiosios kraštinės (pagrindai) $a$ ir $b$ , aukštinė $h$ :

$S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h$

Pavyzdys 7. Trapecijos pagrindai 6 cm ir 10 cm, aukštinė 4 cm.

$S = \frac{1}{2}(6 + 10) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4 = 32 \text{ cm}^2$

Rombas

Rombo įstrižainės $d_1$ ir $d_2$ :

$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$

Perimetras: $P = 4a$ , kur $a$ – kraštinė.

Pavyzdys 8. Rombo įstrižainės 10 cm ir 14 cm.

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 = 70 \text{ cm}^2$

Apskritimas

Apskritimo spindulys $r$ , skersmuo $d = 2r$ :

Ilgis (perimetras)

$C = 2\pi r = \pi d$

Plotas

$S = \pi r^2$

Pavyzdys 9. Apskritimo spindulys 5 cm.

$C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4$ cm
$S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5$ cm²

Sektoriaus plotas

Sektorius – apskritimo dalis, atribota dviejų spindulių ir lanko. Centrinis kampas $\alpha$ (laipsniais):

$S_{\text{sekt}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$

Pavyzdys 10. Sektoriaus spindulys 6 cm, centrinis kampas $90°$ .

$S_{\text{sekt}} = \frac{90°}{360°} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{1}{4} \cdot 36\pi = 9\pi \approx 28{,}3 \text{ cm}^2$

Sudėtinės figūros

Sudėtinę figūrą galima:

Suskaidyti į paprastesnes figūras ir sudėti jų plotus.
Papildyti iki paprastesnės figūros ir atimti perteklių.

Pavyzdys 11. L-formos figūra sudaryta iš dviejų stačiakampių: $8 \times 3$ ir $4 \times 5$ .

$S = 8 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = 24 + 20 = 44 \text{ cm}^2$

Pavyzdys 12. Stadiono formos figūra: stačiakampis $100 \times 60$ m su dviem pusapskritimiais (skersmuo 60 m) galuose.

Stačiakampio plotas: $100 \cdot 60 = 6000$ m²
Du pusapskritimiai = vienas apskritimas, $r = 30$ m: $\pi \cdot 30^2 = 900\pi \approx 2827$ m²
Bendras plotas: $6000 + 900\pi \approx 8827$ m²

Formulių suvestinė

Figūra	Plotas $S$	Perimetras $P$
Stačiakampis	$a \cdot b$	$2(a + b)$
Kvadratas	$a^2$	$4a$
Lygiagretainis	$a \cdot h$	$2(a + b)$
Trikampis	$\frac{1}{2}ah$	$a + b + c$
Trapecija	$\frac{1}{2}(a + b)h$	$a + b + c + d$
Rombas	$\frac{1}{2}d_1 d_2$	$4a$
Apskritimas	$\pi r^2$	$2\pi r$

Savarankiško darbo užduotys

Stačiakampio kraštinės 12 cm ir 7 cm. Apskaičiuokite plotą ir perimetrą.
Kvadrato perimetras 36 cm. Raskite jo kraštinę ir plotą.
Lygiagretainio pagrindas 15 cm, aukštinė 8 cm, šoninė kraštinė 10 cm. Raskite plotą ir perimetrą.
Trikampio kraštinės 13 cm, 14 cm, 15 cm, o aukštinė, nubrėžta į 14 cm kraštinę, lygi 12 cm. Raskite trikampio plotą.
Stačiojo trikampio statiniai 9 cm ir 12 cm. Raskite jo plotą ir įžambinę.
Trapecijos pagrindai 8 cm ir 14 cm, aukštinė 6 cm. Raskite plotą.
Rombo įstrižainės 16 cm ir 12 cm. Raskite plotą ir kraštinę (naudokite Pitagoro teoremą pusėms įstrižainių).
Apskritimo skersmuo 20 cm. Raskite apskritimo ilgį ir skritulio plotą.
Sektoriaus spindulys 10 cm, centrinis kampas $60°$ . Raskite sektoriaus plotą.
Kambario grindys – stačiakampis $5 \times 4$ m su pusapskritimiu balkonu (skersmuo 2 m). Kiek kvadratinių metrų grindų dangos reikia?