Sudėties ir daugybos taisyklės

Sudėties taisyklė

Kai reikia pasirinkti vieną variantą iš kelių grupių (ARBA), variantų skaičiai sudedami.

$\text{Jei } A \text{ galima atlikti } m \text{ būdų, o } B \text{ – } n \text{ būdų, tai } A \textbf{ arba } B \text{ galima atlikti } m + n \text{ būdų.}$

Svarbi sąlyga: pasirinkimai turi nepersidengti – negalima vienu metu pasirinkti iš abiejų grupių.

Pavyzdys 1. Parduotuvėje yra 6 rūšių saldainiai ir 4 rūšių šokoladas. Keliais būdais galima pasirinkti vieną saldumyną?

Sprendimas: renkamės ARBA saldainį, ARBA šokoladą, todėl:

$6 + 4 = 10 \text{ būdų}$

Pavyzdys 2. Kelionei galima rinktis iš 3 autobusų, 2 traukinių arba 1 lėktuvo. Keliais būdais galima nuvykti?

$3 + 2 + 1 = 6 \text{ būdai}$

Daugybos taisyklė

Kai veiksmas susideda iš kelių etapų (IR), variantų skaičiai dauginami.

$\text{Jei pirmą etapą galima atlikti } m \text{ būdų, o antrą – } n \text{ būdų, tai abu etapus kartu galima atlikti } m \cdot n \text{ būdų.}$

Pavyzdys 3. Moksleivis renka aprangą: 4 marškinėliai ir 3 kelnės. Keliais būdais galima sudaryti aprangos derinį?

Sprendimas: renkamės marškinėlius IR kelnes:

$4 \cdot 3 = 12 \text{ derinių}$

Pavyzdys 4. Kavinėje galima rinktis pietų komplektą: 3 sriubos, 5 antrieji patiekalai ir 2 desertai. Kiek skirtingų komplektų galima sudaryti?

$3 \cdot 5 \cdot 2 = 30 \text{ komplektų}$

Medžio diagrama

Medžio diagrama – tai grafinis būdas pavaizduoti visus galimus pasirinkimų variantus. Kiekvienas šakojimasis atitinka vieną pasirinkimo etapą.

Pavyzdys 5. Jonas gali rinktis iš 2 kepurių (raudona, mėlyna) ir 3 šalikų (baltas, žalias, juodas). Pavaizduokime medžio diagrama visus derinius.

Kepurė       Šalikas        Derinys
           ┌─ baltas    →  R + baltas
  raudona ─┼─ žalias    →  R + žalias
           └─ juodas    →  R + juodas
           ┌─ baltas    →  M + baltas
  mėlyna  ─┼─ žalias    →  M + žalias
           └─ juodas    →  M + juodas

Iš viso: $2 \cdot 3 = 6$ deriniai. Medžio diagrama leidžia ne tik suskaičiuoti, bet ir išvardyti visus variantus.

Sisteminis variantų skaičiavimas

Kai pasirinkimai susideda iš kelių pozicijų, kiekvienai pozicijai nustatome galimų variantų skaičių ir taikome daugybos taisyklę.

Pavyzdys 6. Automobilio valstybinis numeris susideda iš 3 raidžių (iš 26 lotyniškų) ir 3 skaitmenų (0–9). Kiek skirtingų numerių galima sudaryti?

Kiekviena pozicija:

1-a raidė: 26 variantai
2-a raidė: 26 variantai
3-ia raidė: 26 variantai
1-as skaitmuo: 10 variantų
2-as skaitmuo: 10 variantų
3-ias skaitmuo: 10 variantų

$26 \cdot 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 26^3 \cdot 10^3 = 17\,576\,000$

Pavyzdys 7. PIN kodas susideda iš 4 skaitmenų (0–9). Kiek skirtingų PIN kodų galima sudaryti? O kiek, jei skaitmenys negali kartotis?

a) Su pasikartojimu: kiekvienoje pozicijoje 10 variantų:

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000$

b) Be pasikartojimo: pirmam skaitmenui 10, antram 9, trečiam 8, ketvirtam 7:

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$

Sudėties ir daugybos taisyklių derinimas

Sudėtingesni uždaviniai dažnai reikalauja abiejų taisyklių vienu metu.

Pavyzdys 8. Iš miesto A į miestą B galima vykti 3 autobusais arba 2 traukiniais. Iš B į C – 4 autobusais arba 1 lėktuvu. Keliais būdais galima nuvykti iš A į C per B?

Sprendimas:

Iš A į B: $3 + 2 = 5$ būdai (sudėties taisyklė, nes renkamės ARBA)
Iš B į C: $4 + 1 = 5$ būdai
Iš A per B į C: $5 \cdot 5 = 25$ būdai (daugybos taisyklė, nes abu etapai vykdomi IR)

Kaip atskirti, kurią taisyklę taikyti?

Raktinis žodis	Taisyklė	Veiksmas
arba, renkamės vieną iš	Sudėties	Sudedame
ir, atliekami keli etapai	Daugybos	Dauginame

Patarimas: jei uždavinyje sakoma „pasirinkti vieną daiktą iš skirtingų grupių" – tai sudėtis. Jei „pasirinkti po vieną iš kiekvienos grupės" – tai daugyba.

Savarankiško darbo užduotys

Parduotuvėje yra 8 rūšių sūriai ir 5 rūšių dešros. Keliais būdais galima nusipirkti vieną produktą?
Iš namų į mokyklą galima eiti 3 keliais, o iš mokyklos į biblioteką – 4 keliais. Keliais būdais galima nueiti iš namų į biblioteką per mokyklą?
Telefono kodas susideda iš 3 skaitmenų (1–9). Kiek skirtingų kodų galima sudaryti, jei skaitmenys gali kartotis?
Mokinys renka aprangą: 5 marškinėliai, 4 kelnės ir 3 batai. Kiek skirtingų derinių galima sudaryti?
Klasėje 12 berniukų ir 14 mergaičių. Keliais būdais galima išrinkti vieną atstovą? O keliais būdais – porą (berniuką IR mergaitę)?
Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2, 3, 4, 5, jei skaitmenys gali kartotis? O kiek, jei negali?
Slaptažodis susideda iš 2 raidžių (iš 26) ir 3 skaitmenų (0–9). Kiek skirtingų slaptažodžių galima sudaryti, jei raidės eina pirmos?
Egzamine yra 10 klausimų, kiekvienam pateikti 4 atsakymo variantai. Keliais būdais galima užpildyti atsakymų lapą (renkantis po vieną atsakymą)?
Ledainėje galima rinktis: 3 rūšių ledai (šokoladinis, vanilinis, braškinis), 2 rūšių glajai ir galima pridėti pabarstukų arba ne. Kiek skirtingų desertų galima užsisakyti?
Mieste A yra 2 kino teatrai (po 5 filmus) ir 3 teatrai (po 2 spektaklius). Keliais būdais galima pasirinkti vieną renginį vakare?