Perstatiniai ir deriniai

Perstatiniai ir deriniai

Faktorialas

Faktorialas $n!$ – tai visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki $n$ sandauga:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Susitarimas: $0! = 1$.

Naudinga savybė: $n! = n \cdot (n-1)!$, todėl galima trumpinti:

$\frac{8!}{6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 8 \cdot 7 = 56$

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite $\dfrac{10!}{7! \cdot 3!}$.

$\frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = \frac{720}{6} = 120$

---

Perstatiniai (permutacijos)

Perstatiniai $P_n$ – tai būdų skaičius, kuriais galima surikiuoti visus $n$ elementų tam tikra tvarka.

$P_n = n!$

Svarbiausia mintis: imame visus elementus ir juos išdėstome tam tikra tvarka.

Pavyzdys 2. Keliais būdais galima surikiuoti 5 knygas lentynoje?

$P_5 = 5! = 120 \text{ būdų}$

Pavyzdys 3. Kiek skirtingų „žodžių" galima sudaryti iš raidžių M, A, T, E, K (kiekvieną naudojant tik kartą)?

$P_5 = 5! = 120$

Pavyzdys 4. 6 bėgikai bėga finalinį bėgimą. Keliais būdais jie gali pasidalyti vietas?

$P_6 = 6! = 720 \text{ būdų}$

---

Gretiniai (išdėstymai)

Gretiniai $A_n^k$ – tai būdų skaičius, kuriais galima iš $n$ elementų pasirinkti $k$ ir juos surikiuoti, kai tvarka svarbi.

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

Čia: $n$ – visų elementų skaičius, $k$ – renkamų elementų skaičius, $k \leq n$.

Pavyzdys 5. Klasėje 30 mokinių. Keliais būdais galima išrinkti seniūną ir jo pavaduotoją?

Tvarka svarbi (seniūnas ≠ pavaduotojas), renkame 2 iš 30:

$A_{30}^2 = \frac{30!}{28!} = 30 \cdot 29 = 870 \text{ būdų}$

Pavyzdys 6. Iš 8 spalvų reikia pasirinkti 3 spalvas vėliavai (spalvų tvarka juostose svarbi). Kiek variantų?

$A_8^3 = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \text{ variantai}$

---

Deriniai (kombinacijos)

Deriniai $C_n^k$ – tai būdų skaičius, kuriais galima iš $n$ elementų pasirinkti $k$, kai tvarka nesvarbi.

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Ryšys su gretiniais: $C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!}$, nes pašaliname $k$ elementų vidinių perstatinių pasikartojimą.

Pavyzdys 7. Klasėje 25 mokiniai. Keliais būdais galima išrinkti 3 mokinių komitetą?

Tvarka nesvarbi (komitetas = ):

$C_{25}^3 = \frac{25!}{3! \cdot 22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{13\,800}{6} = 2300 \text{ būdų}$

Pavyzdys 8. Loterijoje iš 45 skaičių reikia atspėti 6. Kiek yra skirtingų kombinacijų?

$C_{45}^6 = \frac{45!}{6! \cdot 39!} = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{720} = 8\,145\,060$

---

Kaip atskirti: tvarka svarbi ar ne?

Patarimas: Jei keičiant pasirinktų elementų tvarką gaunamas kitas rezultatas (pvz., kodas, vietos, pareigos) – tvarka svarbi → gretiniai. Jei rezultatas tas pats (pvz., komanda, grupė, rinkinys) – tvarka nesvarbi → deriniai.

---

Derinių savybės

$C_n^0 = 1, \quad C_n^n = 1, \quad C_n^1 = n$

$C_n^k = C_n^{n-k} \quad \text{(simetrijos savybė)}$

Pavyzdys: $C_{10}^3 = C_{10}^7 = 120$ – pasirinkti 3 iš 10 yra tas pat, kas palikti 7 iš 10.

---

Paskalio trikampis

Paskalio trikampis – tai lentelė, kurioje kiekvienas skaičius yra virš jo esančių dviejų skaičių suma:

$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

n=0:              1
n=1:            1   1
n=2:          1   2   1
n=3:        1   3   3   1
n=4:      1   4   6   4   1
n=5:    1   5  10  10   5   1
n=6:  1   6  15  20  15   6   1

Kiekviena eilutė atitinka $C_n^0, C_n^1, \ldots, C_n^n$.

Pavyzdys 9. Iš Paskalio trikampio: $C_6^2 = 15$, $C_5^3 = 10$.

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite: a) $7!$; b) $\dfrac{9!}{7!}$; c) $\dfrac{6!}{2! \cdot 4!}$.

2. Keliais būdais galima surikiuoti 8 mokinius į eilę nuotraukai?

3. Iš 10 sporto šakų reikia pasirinkti 3, kurios bus įtrauktos į varžybų programą (tvarka nesvarbi). Kiek yra variantų?

4. Mokykloje 12 kandidatų į mokinių tarybą. Reikia išrinkti pirmininką, pavaduotoją ir sekretorių. Keliais būdais tai galima padaryti?

5. Krepšinio komandoje 12 žaidėjų. Treneris turi atrinkti startinį penketą. Keliais būdais tai galima padaryti?

6. Apskaičiuokite $C_{10}^4$ ir patikrinkite, kad $C_{10}^4 = C_{10}^6$.

7. Keliais būdais galima sudaryti 4 raidžių kodą iš raidžių A, B, C, D, E, F, jei raidės nesikartoja ir tvarka svarbi?

8. Iš 15 klausimų egzamine reikia atsakyti į bet kuriuos 10. Keliais būdais galima pasirinkti klausimus?

9. Kiek skirtingų trikampių galima sudaryti, jungiant 8 taškus plokštumoje (jokie trys taškai nėra vienoje tiesėje)?

10. Klasėje 18 berniukų ir 14 mergaičių. Keliais būdais galima sudaryti 3 asmenų delegaciją, kurioje būtų 2 berniukai ir 1 mergaitė?