Tikimybių įvadas

Atsitiktinis bandymas ir įvykiai

Atsitiktinis bandymas – tai veiksmas, kurio rezultato negalime tiksliai numatyti (pvz., monetos metimas, kauliuko ridinimas).

Pavyzdys 1. Metame įprastinį kauliuką.

Jei visi elementarieji įvykiai yra vienodai galimi, tai įvykio $A$ tikimybė:

$P(A) = \frac{m}{n}$

kur $m$ – palankių (norimų) elementariųjų įvykių skaičius, $n$ – visų elementariųjų įvykių skaičius.

Pavyzdys 2. Metame kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris lyginis skaičius?

$P(\text{lyginis}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Pavyzdys 3. Iš maišelio su 5 raudonais ir 3 mėlynais kamuoliukais traukiame vieną. Kokia tikimybė, kad jis bus mėlynas?

$P(\text{mėlynas}) = \frac{3}{5 + 3} = \frac{3}{8} = 0{,}375$

$0 \leq P(A) \leq 1$

Pavyzdys: Metant kauliuką tikimybė, kad iškris skaičius nuo 1 iki 6, yra $P = 1$ . Tikimybė, kad iškris 7, yra $P = 0$ .

Priešingas (papildomas) įvykis $\bar{A}$ – tai „ $A$ neįvyksta". Galioja:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Ši formulė labai naudinga, kai lengviau skaičiuoti priešingo įvykio tikimybę.

Pavyzdys 4. Metame du kauliukus. Kokia tikimybė, kad bent viename iškris 6?

Viso iškritimų: $6 \cdot 6 = 36$ .

Priešingas įvykis – „nė viename neiškrito 6". Kiekviename kauliuke galimi 5 rezultatai (ne 6):

$P(\text{nė vieno 6}) = \frac{5 \cdot 5}{36} = \frac{25}{36}$

$P(\text{bent vienas 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}306$

Du įvykiai $A$ ir $B$ yra nesuderinami, jei jie negali įvykti vienu metu ( $A \cap B = \varnothing$ ).

Nesuderinamų įvykių sudėties taisyklė:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Pavyzdys 5. Metame kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris 2 arba 5?

Įvykiai „iškrito 2" ir „iškrito 5" yra nesuderinami:

$P(2 \text{ arba } 5) = P(2) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Pavyzdys 6. Maišelyje 4 raudoni, 3 mėlyni ir 2 žali kamuoliukai. Traukiame vieną. Kokia tikimybė, kad jis bus raudonas arba žalias?

$P(\text{raud. arba žal.}) = \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Kai palankių ir visų įvykių daug, naudojame kombinatorikos formules.

Pavyzdys 7. Iš 52 kortų kaladės traukiame 2 kortas. Kokia tikimybė, kad abi bus tūzai?

Palankūs variantai: renkame 2 tūzus iš 4: $C_4^2 = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$
Visi variantai: renkame 2 kortas iš 52: $C_{52}^2 = \dfrac{52 \cdot 51}{2} = 1326$

$P(\text{2 tūzai}) = \frac{C_4^2}{C_{52}^2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221} \approx 0{,}0045$

Pavyzdys 8. Klasėje 20 mokinių, iš jų 8 mergaitės. Atsitiktinai renkame 3 mokinius. Kokia tikimybė, kad visos trys bus mergaitės?

$P = \frac{C_8^3}{C_{20}^3} = \frac{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6}}{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6}} = \frac{56}{1140} = \frac{14}{285} \approx 0{,}049$

Metame kauliuką. Raskite tikimybę, kad iškris: a) skaičius 3; b) nelyginis skaičius; c) skaičius, didesnis už 2.
Maišelyje 6 balti ir 4 juodi kamuoliukai. Traukiame vieną atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad jis bus baltas?
Metame monetą 3 kartus. Kiek yra elementariųjų įvykių? Kokia tikimybė gauti lygiai 2 herbus?
Dėžėje 10 saldainių: 4 šokoladiniai, 3 karamelės ir 3 ledinukai. Atsitiktinai traukiame vieną. Kokia tikimybė, kad jis nebus šokoladinis?
Metame du kauliukus. Kokia tikimybė, kad iškritusių skaičių suma bus lygi 7?
Klasėje 30 mokinių, 12 iš jų – berniukai. Atsitiktinai renkame 1 mokinį. Kokia tikimybė, kad tai bus mergaitė?
Iš skaičių 1, 2, 3, 4, 5 atsitiktinai pasirenkame du (be grąžinimo). Kokia tikimybė, kad abu bus lyginiai?
Loterijoje dalyvauja 100 bilietų, iš jų 5 laimingi. Perkame 1 bilietą. Kokia tikimybė laimėti? Kokia tikimybė nelaimėti?
Iš 52 kortų kaladės traukiame 1 kortą. Kokia tikimybė, kad tai bus būgnų arba širdžių korta?
Grupėje 15 mokinių, 6 iš jų mokosi anglų kalbą, 5 – vokiečių, 4 – prancūzų. Atsitiktinai renkame 2 mokinius. Kokia tikimybė, kad abu mokysis anglų kalbos?