Lygčių sistemos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

paaiškinti temą „Lygčių sistemos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Lygčių sistemos sprendinys yra kintamųjų reikšmių pora, kuri tenkina visas sistemos lygtis vienu metu. Tiesinių lygčių sistemoje kiekviena lygtis koordinačių plokštumoje vaizduoja tiesę, todėl sprendinių skaičius sutampa su tų tiesių bendrų taškų skaičiumi.

Pakeitimo būdu iš vienos lygties patogu išreikšti vieną kintamąjį ir gautą reiškinį įstatyti į kitą lygtį. Sudėties būdu viena ar abi lygtys padauginamos taip, kad sudėjus lygtis vienas kintamasis išnyktų. Abu algebriniai būdai turi duoti tą pačią porą.

Lygiagrečios skirtingos tiesės bendrų taškų neturi, tad sistema neturi sprendinių. Jei abi lygtys aprašo tą pačią tiesę, sprendinių yra be galo daug. Tekstiniame uždavinyje prieš sprendžiant reikia apibrėžti kintamuosius ir po sprendimo patikrinti, ar reikšmės prasmingos.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

y=k_1x+b_1,\quad y=k_2x+b_2

k_1=k_2,\ b_1\ne b_2\Rightarrow\text{ sprendinių nėra}

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Išspręskite sistemą $2x+y=11$ , $x-y=1$ .

Sudedame lygtis: $(2x+y)+(x-y)=11+1$ , todėl $3x=12$ .
Gauname $x=4$ .
Įstatome į antrą lygtį: $4-y=1$ , todėl $y=3$ .
Patikra pirmoje lygtyje: $2\cdot4+3=11$ .

Atsakymas. Sistemos sprendinys yra $(4;3)$ .

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

Atlikti veiksmą tik su viena lygties puse.
Sudėties būdu nepakeisti visų lygties narių ženklų dauginant iš neigiamo skaičiaus.
Pateikti tik vieno kintamojo reikšmę, nors sprendinys yra pora.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

Išspręskite $x+y=9$ , $x-y=3$ .
Išspręskite $2x+y=7$ , $y=x+1$ .
Kiek sprendinių turi $y=2x+1$ ir $y=2x-4$ ?
Kiek sprendinių turi $2x+2y=6$ ir $x+y=3$ ?
Išspręskite $3x-2y=4$ , $x+2y=8$ .
Dviejų skaičių suma 20, skirtumas 4. Raskite skaičius.
2 bilietai suaugusiesiems ir 1 vaikui kainuoja 23 €, o 1 suaugusiajam ir 2 vaikams – 19 €. Raskite kainas.
Patikrinkite, ar $(2;1)$ tenkina $x+3y=5$ ir $2x-y=3$ .

Atsakymai savitikrai

$(6;3)$ .
$(2;3)$ .
Nė vieno.
Be galo daug.
$(3;5/2)$ .
12 ir 8.
Suaugusiojo 9 €, vaiko 5 €.
Taip, tenkina abi lygtis.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Lygčių sistemos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.