Nelygybės

Nelygybės

Kvadratinė nelygybė

Kvadratinė nelygybė – nelygybė pavidalo:

$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{arba} \quad ax^2 + bx + c < 0 \quad (a \neq 0)$

(taip pat su ≥ ir ≤)

Sprendimas grafiniu būdu

Idėja: $y = ax^2 + bx + c$ yra parabolė. Sprendžiame, kur parabolė yra aukščiau arba žemiau x ašies.

Žingsniai:

1. Raskite lygties $ax^2 + bx + c = 0$ šaknis (naudojant diskriminantą).
2. Nustatykite parabolės šakų kryptį ($a > 0$ – aukštyn, $a < 0$ – žemyn).
3. Pažymėkite šaknis skaičių tiesėje.
4. Nustatykite, kuriuose intervaluose parabolė yra aukščiau/žemiau x ašies.

1 atvejis: D > 0 (dvi skirtingos šaknys $x_1 < x_2$)

Kai $a > 0$ (parabolės šakos nukreiptos aukštyn):

• $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$ (šakos virš ašies)
• $ax^2 + bx + c < 0$: $x \in (x_1; x_2)$ (viršūnė po ašimi)

Kai $a < 0$ (parabolės šakos nukreiptos žemyn):

• $ax^2 + bx + c < 0$: $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$
• $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in (x_1; x_2)$

2 atvejis: D = 0 (viena šaknis $x_0$)

Kai $a > 0$:

• $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; +\infty)$ (visi, išskyrus $x_0$)
• $ax^2 + bx + c \ge 0$: $x \in \mathbb{R}$ (visi realieji skaičiai)
• $ax^2 + bx + c < 0$: sprendinių nėra ($\emptyset$)

3 atvejis: D < 0 (šaknų nėra)

Kai $a > 0$ (parabolė visada virš x ašies):

• $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in \mathbb{R}$
• $ax^2 + bx + c < 0$: sprendinių nėra ($\emptyset$)

Sprendimo pavyzdžiai

Pavyzdys 1: x² - 5x + 6 > 0

• Lygtis: x² - 5x + 6 = 0 → D = 25 - 24 = 1 → x₁ = 2, x₂ = 3
• a = 1 > 0 (parabolė šakos aukštyn)
• Nelygybė > 0 → x ∈ (-∞; 2) ∪ (3; +∞)

Pavyzdys 2: -x² + 4x - 3 ≥ 0

• Padauginkime iš (-1), keičiame ženklą: x² - 4x + 3 ≤ 0
• Lygtis: x² - 4x + 3 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 3
• Nelygybė ≤ 0 → x ∈ [1; 3]

Pavyzdys 3: 2x² + x + 1 > 0

• Lygtis: 2x² + x + 1 = 0 → D = 1 - 8 = -7 < 0
• a = 2 > 0, D < 0 → parabolė visur aukščiau x ašies
• Sprendinys: x ∈ ℝ (visi realieji skaičiai)

Pavyzdys 4: x² + 4x - 12 < 0

• D = 16 + 48 = 64 → x₁ = (-4-8)/2 = -6, x₂ = (-4+8)/2 = 2
• a > 0, nelygybė < 0 → x ∈ (-6; 2)

Modulinės nelygybės

Modulinė nelygybė – nelygybė su absoliutine verte.

Tipas 1: |x - a| < b (b > 0)

$|x - a| < b \iff -b < x - a < b \iff a - b < x < a + b$

Geometriškai: atstumas nuo x iki a yra mažesnis nei b.

Pavyzdžiai:

• |x| < 3: -3 < x < 3, t. y. x ∈ (-3; 3)
• |x - 2| < 5: -5 < x - 2 < 5 → -3 < x < 7, t. y. x ∈ (-3; 7)
• |2x + 1| ≤ 7: -7 ≤ 2x + 1 ≤ 7 → -8 ≤ 2x ≤ 6 → -4 ≤ x ≤ 3

Tipas 2: |x - a| > b (b > 0)

$|x - a| > b \iff x - a < -b \quad \text{arba} \quad x - a > b$ $\iff x < a - b \quad \text{arba} \quad x > a + b$

Pavyzdžiai:

• |x| > 4: x < -4 arba x > 4, t. y. x ∈ (-∞; -4) ∪ (4; +∞)
• |x - 3| ≥ 2: x - 3 ≤ -2 arba x - 3 ≥ 2 → x ≤ 1 arba x ≥ 5
• |3x - 6| > 3: |3(x-2)| > 3 → 3|x-2| > 3 → |x-2| > 1 → x < 1 arba x > 3

Dvigubos nelygybės (kartojimas)

$a < f(x) < b$

Tvarkome visas tris dalis vienodai.

Pavyzdys: -2 ≤ x² - 3 < 6

• Kairė: x² - 3 ≥ -2 → x² ≥ 1 → x ≤ -1 arba x ≥ 1
• Dešinė: x² - 3 < 6 → x² < 9 → -3 < x < 3
• Susikirtimas: (-3; -1] ∪ [1; 3)

Sudėtingesni pavyzdžiai

Pavyzdys 1. Išspręskite: (x-1)(x+3) ≥ 0

• Šaknys: x₁ = 1, x₂ = -3
• a > 0 (kai atskliausime – vyriausiasis koeficientas +1)
• ≥ 0: x ≤ -3 arba x ≥ 1, t. y. x ∈ (-∞; -3] ∪ [1; +∞)

Pavyzdys 2. Išspręskite: (x+2)² < 0

• (x+2)² ≥ 0 visada → nelygybė < 0 neturi sprendinių.

Pavyzdys 3. Išspręskite: |x² - 4| < 5

• -5 < x² - 4 < 5
• Kairė: x² > -1 → visada teisinga
• Dešinė: x² < 9 → -3 < x < 3
• Sprendinys: x ∈ (-3; 3)

Savarankiško darbo užduotys

1. Išspręskite kvadratines nelygybes: a) x² - 7x + 12 > 0 b) x² - 4x ≤ 0 c) -2x² + 8 > 0 d) x² + 2x + 1 < 0

2. Išspręskite modulines nelygybes: a) |x| < 6 b) |x - 4| ≤ 3 c) |2x + 1| < 5 d) |x| > 7 e) |x + 2| ≥ 4 f) |3x - 9| > 6

3. Išspręskite: a) (2x - 1)(x + 3) > 0 b) x² + 5x + 4 ≤ 0 c) 3x² - x - 2 > 0

4. Nustatykite, kuriam skaičiui x galioja: x² < 25 ir x > -3.

5. Raskite m reikšmes, kurioms m² - 6m + 5 ≤ 0.

6. Kuriam x galioja: |2x - 3| ≤ 5 ir x² - 4 < 0?