Tiesinės lygtys ir nelygybės

Tiesinės lygtys ir nelygybės

Tiesinė lygtis

Tiesinė lygtis – lygtis pavidalo ax + b = 0, kur a ≠ 0.

Sprendimas: $ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$

Bendra sprendimo strategija:

1. Atskleiskite skliaustus
2. Jei yra trupmenų – padauginkite iš bendro vardiklio
3. Surinkite nežinomuosius vienoje pusėje, laisvuosius – kitoje
4. Padalinkite iš nežinomojo koeficiento

Paprastos lygtys

Pavyzdys 1: 3x - 7 = 11

$3x = 11 + 7 = 18 \implies x = 6$

Pavyzdys 2: 5 - 2x = x + 2

$5 - 2 = x + 2x \implies 3 = 3x \implies x = 1$

Lygtys su skliaustais

Pavyzdys: 2(3x - 1) - 4(x + 2) = 6

Sprendimas:

• 6x - 2 - 4x - 8 = 6
• 2x - 10 = 6
• 2x = 16
• x = 8

Patikrinimas: 2(24-1) - 4(10) = 46 - 40 = 6 ✓

Lygtys su trupmenomis

Pavyzdys: x/3 - (x-1)/2 = 1

Sprendimas (dauginame iš 6 – bendro vardiklio):

• 2x - 3(x-1) = 6
• 2x - 3x + 3 = 6
• -x = 3
• x = -3

Pavyzdys su algebrinėmis trupmenomis:

$\frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+2}$

Kryžminis dauginimas: 2(x+2) = 3(x-1)

• 2x + 4 = 3x - 3
• 7 = x
• ODA: x ≠ 1, x ≠ -2. x = 7 tinka.

Ypatingi atvejai

Prieštaringa lygtis (be sprendinio): 2x + 3 = 2x + 5 → 3 = 5 – klaidinga.

Tapatybė (begaliniai sprendiniai): 2x + 4 = 2(x + 2) → 4 = 4 – visada teisinga.

Tiesinės nelygybės

Tiesinė nelygybė – reiškinys $ax + b > 0$ (arba $ax + b < 0$, $ax + b \geq 0$, $ax + b \leq 0$).

Sprendimo taisyklės – tokios pat kaip lygties, bet:

SVARBU: Dauginant arba dalijant iš neigiamo skaičiaus – nelygybės ženklas keičiamas į priešingą!

$-2x > 6 \implies x < -3$

Pavyzdys 1: 3x - 4 > 8

$3x > 12 \implies x > 4$

Sprendinių aibė: x ∈ (4; +∞)

Pavyzdys 2: 5 - 2x ≤ 1

$-2x \leq -4 \implies x \geq 2$

Sprendinių aibė: x ∈ [2; +∞)

Pavyzdys 3: 3(x + 1) < 2(x - 1) + 7

• 3x + 3 < 2x - 2 + 7
• 3x + 3 < 2x + 5
• x < 2

Sprendinių aibė: x ∈ (-∞; 2)

Intervalo žymėjimas

Dvigubos nelygybės

Dviguba nelygybė: a < 2x + 1 < 7

Sprendimas – tvarkome vienodai visas tris dalis:

• a - 1 < 2x < 6
• (a-1)/2 < x < 3

Pavyzdys: -3 < 2x - 1 ≤ 5

• -3 + 1 < 2x ≤ 5 + 1
• -2 < 2x ≤ 6
• -1 < x ≤ 3

Sprendinių aibė: x ∈ (-1; 3]

Pavyzdys su neigiamu daugikliu: 1 ≤ -x + 3 < 7

• 1 - 3 ≤ -x < 7 - 3
• -2 ≤ -x < 4
• Daliname iš (-1), keičiame ženklus: 2 ≥ x > -4
• Rašome normaliai: -4 < x ≤ 2

Sprendinių aibė: x ∈ (-4; 2]

Taikomieji uždaviniai

Pavyzdys: Du draugai turi kartu ne mažiau kaip 50 €. Pirmasis turi du kartus daugiau nei antrasis. Kiek bent jau turi antrasis?

Sprendimas:

• Tegu antrasis turi x €, pirmasis – 2x €
• x + 2x ≥ 50
• 3x ≥ 50
• x ≥ 50/3 ≈ 16,67

Antrasis turi ne mažiau kaip 16,67 €.

Sprendinio patikra

Išsprendus lygtį gautą skaičių reikia įstatyti į abi pradinės lygties puses, o ne tik į paskutinę pertvarkytą eilutę. Jei abi pusės lygios ir skaičius nepažeidžia vardiklių ar konteksto apribojimų, sprendinys patvirtintas. Nelygybės atveju patogu pasirinkti po vieną bandomąjį skaičių iš pažymėto intervalo ir už jo ribų. Taip pat tikrinama, ar intervalo galas turi būti įtrauktas: ženklai $\leq$ ir $\geq$ atitinka uždarą tašką, o $<$ ir $>$ – atvirą.

Tekstiniame uždavinyje algebrinis atsakymas dar gali būti netinkamas. Bilietų, žmonių ar daiktų skaičius paprastai turi būti sveikasis ir neneigiamas, todėl, pavyzdžiui, reikšmę 6,25 tenka interpretuoti pagal klausimą, o ne vien mechaniškai apvalinti.

Savarankiško darbo užduotys

1. Išspręskite lygtis: a) 4x - 3 = 13; b) 7 - 2x = x + 1; c) 3(2x-1) = 2(x+3) + 1

2. Išspręskite lygtis su trupmenomis: a) x/4 - x/6 = 1; b) (2x-1)/3 - (x+2)/6 = 0

3. Išspręskite nelygybę ir atvaizduokite skaičių tiesėje: a) 2x + 5 > 11; b) 4 - 3x ≥ -2; c) 5(x-1) < 3(x+1)

4. Išspręskite dvigubą nelygybę: a) 1 < 3x - 2 ≤ 7; b) -5 ≤ 2x + 1 < 3

5. Raskite, kuriam skaičiui x galioja: x² - 5 > x(x-1). (patarimas: suprastinkite)

6. Temperatūra patalpoje turi būti tarp 18°C ir 22°C. Termometras rodo (2t - 10)°C, kur t – valandos po vidurnakčio. Kada temperatūra tinkama?