Kvadratinės lygtys

Apibrėžimas

Kvadratinė lygtis – lygtis pavidalo:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

kur a – vyraujantysis koeficientas, b – vidurinysis koeficientas, c – laisvasis narys.

Neišsamios kvadratinės lygtys

1 tipas: bx = 0 ir c = 0, liko ax² = 0

$ax^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$

Pavyzdys: 3x² = 0 → x = 0 (viena šaknis)

2 tipas: b = 0, liko ax² + c = 0

$ax^2 + c = 0 \implies x^2 = -\frac{c}{a}$

Jei -c/a > 0: dvi šaknys $x = \pm\sqrt{-c/a}$
Jei -c/a = 0: x = 0
Jei -c/a < 0: šaknų nėra (realiuosiuose skaičiuose)

Pavyzdžiai:

2x² - 8 = 0 → x² = 4 → x = ±2
3x² + 12 = 0 → x² = -4 → šaknų nėra
x² - 5 = 0 → x = ±√5

3 tipas: c = 0, liko ax² + bx = 0

$ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0$

$x_1 = 0 \quad \text{arba} \quad x_2 = -\frac{b}{a}$

Pavyzdžiai:

2x² - 6x = 0 → 2x(x - 3) = 0 → x = 0 arba x = 3
5x² + 10x = 0 → 5x(x + 2) = 0 → x = 0 arba x = -2

Bendroji kvadratinė lygtis: diskriminantas

Diskriminantas:

$D = b^2 - 4ac$

Sprendimo formulė:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Diskriminanto reikšmė:

D > 0: dvi skirtingos realiosios šaknys
D = 0: viena šaknis (arba dvi lygios): x = -b/(2a)
D < 0: šaknų nėra realiuosiuose skaičiuose

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1: x² - 5x + 6 = 0

a = 1, b = -5, c = 6
D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
x₁ = (5 + 1)/2 = 3; x₂ = (5 - 1)/2 = 2

Pavyzdys 2: 2x² + 3x - 2 = 0

D = 9 + 16 = 25
x₁ = (-3 + 5)/4 = 1/2; x₂ = (-3 - 5)/4 = -2

Pavyzdys 3: x² - 4x + 4 = 0

D = 16 - 16 = 0
x = 4/2 = 2 (viena šaknis)

Pavyzdys 4: x² + x + 1 = 0

D = 1 - 4 = -3 < 0
Šaknų nėra

Vijeto teorema

Jei kvadratinė lygtis ax² + bx + c = 0 turi dvi šaknis x₁ ir x₂, tai:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Taikymas: Neieškant šaknų, galima rasti jų sumą ir sandaugą.

Pavyzdys: Lygtis x² - 7x + 10 = 0:

x₁ + x₂ = 7; x₁ · x₂ = 10
Reikia: dviejų skaičių, kurių suma 7 ir sandauga 10
x₁ = 5, x₂ = 2

Atvirkščiai: Sudarykite lygtį, kurios šaknys x₁ = 3 ir x₂ = -4:

x₁ + x₂ = -1 → -b/a = -1 → b = 1 (kai a = 1)
x₁ · x₂ = -12 → c/a = -12 → c = -12
Lygtis: x² + x - 12 = 0

Patikrinimas: D = 1 + 48 = 49; x = (-1 ± 7)/2 → x₁ = 3, x₂ = -4 ✓

Uždaviniai su parametrais

Pavyzdys: Su kuria parametro m reikšme lygtis x² - mx + 4 = 0 turi: a) dvi šaknis; b) vieną šaknį; c) nė vienos šaknies?

Sprendimas:

D = m² - 16
a) D > 0: m² > 16 → m > 4 arba m < -4
b) D = 0: m² = 16 → m = ±4
c) D < 0: -4 < m < 4

Taikomieji uždaviniai

Pavyzdys (plotas): Stačiakampio plotas 60 m², ilgis 7 m didesnis už plotį. Raskite matmenis.

Sprendimas:

Tegu plotis = x, ilgis = x + 7
x(x + 7) = 60
x² + 7x - 60 = 0
D = 49 + 240 = 289 = 17²
x = (-7 + 17)/2 = 5 (teigiama reikšmė)
Plotis = 5 m, ilgis = 12 m

Patikrinimas: 5 · 12 = 60 ✓

Pavyzdys (fizika): Kūnas mestas vertikaliai aukštyn su greičiu 20 m/s. Aukštis: h = 20t - 5t². Kada h = 15 m?

20t - 5t² = 15
5t² - 20t + 15 = 0
t² - 4t + 3 = 0
(t - 1)(t - 3) = 0
t₁ = 1 s (kylant) ir t₂ = 3 s (leidžiantis)

Savarankiško darbo užduotys

Išspręskite neišsamias kvadratines lygtis: a) 3x² = 27; b) 2x² - x = 0; c) x² - 7 = 0; d) 4x² + 1 = 0
Apskaičiuokite diskriminantą ir išspręskite: a) x² - 6x + 5 = 0; b) 2x² + 5x - 3 = 0; c) x² - 2x + 1 = 0; d) x² + x + 2 = 0
Taikydami Vijeto teoremą nustatykite x₁ + x₂ ir x₁ · x₂: a) x² - 9x + 14 = 0; b) 3x² - x - 2 = 0
Sudarykite kvadratines lygtis su šaknimis: a) x₁ = 1, x₂ = -5; b) x₁ = x₂ = 3; c) x₁ = 2 + √3, x₂ = 2 - √3
Raskite m, kuriam lygtis x² + 2mx + 9 = 0 turi vieną šaknį.
Dviejų skaičių suma yra 15, o jų sandauga – 56. Raskite šiuos skaičius.
Trikampio plotas 30 cm², o pagrindas 4 cm ilgesnis už aukštinę. Raskite pagrindą ir aukštinę.