egzas.lt logoegzas.lt
Grįžti į temą

Algebrinės trupmenos

Orientacinė trukmė: ~30 min

Algebrinės trupmenos

Apibrėžimas

Algebrinė trupmena – reiškinys pavidalo P(x)/Q(x), kur P(x) ir Q(x) – algebriniai reiškiniai ir Q(x) ≠ 0.

Pavyzdžiai:

  • (x + 1)/(x - 2)
  • (3a²)/(a + b)
  • (x² - 4)/(x² + 2x)

Apibrėžimo (galiojimo) sritis

Apibrėžimo sritis (leistinųjų reikšmių aibė - LRA, arba ODA) – visos x reikšmės, kurioms trupmena yra apibrėžta (vardiklis ≠ 0).

Kaip rasti:

  1. Užrašykite vardiklį
  2. Nustatykite, kada jis lygus nuliui
  3. Visas kitas reikšmes įtraukite į apibrėžimo sritį

Pavyzdžiai:

  • x+1x−3\frac{x+1}{x-3}: x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3. ODA: x ∈ ℝ, x ≠ 3

  • 2x2−4\frac{2}{x^2-4}: x² - 4 ≠ 0 → x ≠ ±2. ODA: x ≠ 2, x ≠ -2

  • xx(x+1)\frac{x}{x(x+1)}: x ≠ 0, x ≠ -1

Suprastinimas

Algebrinę trupmeną suprastiname, kai skaitiklis ir vardiklis turi bendrą dauginamąjį.

Žingsnis 1: Išskaidykite skaitiklį ir vardiklį dauginamaisiais. Žingsnis 2: Trumpinkite bendrus dauginamuosius. Žingsnis 3: Nurodykite ODA apribojimus.

Pavyzdys 1:

x2−9x2+3x=(x+3)(x−3)x(x+3)=x−3x,x≠0,  x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x+3)(x-3)}{x(x+3)} = \frac{x-3}{x}, \quad x \neq 0, \; x \neq -3

Pavyzdys 2:

2x2−2x2−2x+1=2(x2−1)(x−1)2=2(x+1)(x−1)(x−1)2=2(x+1)x−1,x≠1\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 2x + 1} = \frac{2(x^2-1)}{(x-1)^2} = \frac{2(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{2(x+1)}{x-1}, \quad x \neq 1

Pavyzdys 3:

a2−b2a2+2ab+b2=(a+b)(a−b)(a+b)2=a−ba+b,a≠−b\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2} = \frac{a-b}{a+b}, \quad a \neq -b

Sudėtis ir atimtis

Vienodi vardikliai

AC±BC=A±BC\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}

Pavyzdys:

2x+1x−1−x+3x−1=(2x+1)−(x+3)x−1=x−2x−1\frac{2x+1}{x-1} - \frac{x+3}{x-1} = \frac{(2x+1)-(x+3)}{x-1} = \frac{x-2}{x-1}

Skirtingi vardikliai

Žingsniai:

  1. Raskite bendrą vardiklį (MBK)
  2. Pakelkite kiekvieną trupmeną iki bendro vardiklio
  3. Atlikite sudėtį/atimtį skaitikliuose
  4. Suprastinkite, jei galima

Pavyzdys 1:

1x+1x+1=x+1x(x+1)+xx(x+1)=2x+1x(x+1)\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}

Pavyzdys 2:

3x−2−1x+2=3(x+2)(x−2)(x+2)−x−2(x−2)(x+2)=3x+6−x+2(x−2)(x+2)=2x+8x2−4\frac{3}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x+6-x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x+8}{x^2-4}

Daugyba

AB⋅CD=A⋅CB⋅D\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}

Praktinis patarimas: Pirmiau išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite, vėliau dauginkite.

Pavyzdys:

x2−1x+2⋅x2−4x−1=(x+1)(x−1)x+2⋅(x+2)(x−2)x−1\frac{x^2-1}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+2} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x-1} =(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)(x+2)(x−1)=(x+1)(x−2)=x2−x−2= \frac{(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-1)} = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2

Dalyba

AB:CD=AB⋅DC=ADBC\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}

Pavyzdys:

a2−4a+3:a−2a2+3a=a2−4a+3⋅a2+3aa−2\frac{a^2-4}{a+3} : \frac{a-2}{a^2+3a} = \frac{a^2-4}{a+3} \cdot \frac{a^2+3a}{a-2} =(a+2)(a−2)a+3⋅a(a+3)a−2=a(a+2)= \frac{(a+2)(a-2)}{a+3} \cdot \frac{a(a+3)}{a-2} = a(a+2)

Sudėtinės trupmenos

Sudėtinė trupmena – trupmena, kurios skaitiklyje arba vardiklyje yra kita trupmena.

Supaprastinimo metodas: Padauginti iš pagrindinio vardiklio.

Pavyzdys:

1x−1y1x+1y=y−xxyy+xxy=y−xxy⋅xyy+x=y−xy+x\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y-x}{xy}}{\frac{y+x}{xy}} = \frac{y-x}{xy} \cdot \frac{xy}{y+x} = \frac{y-x}{y+x}

Kitas pavyzdys:

1−1x1+1x=x−1xx+1x=x−1x+1\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x+1}

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1. Raskite apibrėžimo sritį: x+2x2−x−6\frac{x+2}{x^2-x-6}

Sprendimas:

  • x² - x - 6 = 0 → (x-3)(x+2) = 0 → x = 3 arba x = -2
  • ODA: x ≠ 3 ir x ≠ -2

Pavyzdys 2. Suprastinkite ir raskite ODA: x2+x−6x2−4\frac{x^2+x-6}{x^2-4}

Sprendimas:

  • Skaitiklis: x² + x - 6 = (x+3)(x-2)
  • Vardiklis: x² - 4 = (x+2)(x-2)
  • Rezultatas: (x+3)(x−2)(x+2)(x−2)=x+3x+2\frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x+2}
  • ODA: x ≠ 2, x ≠ -2

Pavyzdys 3. Apskaičiuokite: 2x−1−x+3x2−1\frac{2}{x-1} - \frac{x+3}{x^2-1}

Sprendimas:

  • x² - 1 = (x+1)(x-1)
  • 2(x+1)(x−1)(x+1)−x+3(x+1)(x−1)=2x+2−x−3(x+1)(x−1)=x−1(x+1)(x−1)=1x+1\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{x+3}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x+2-x-3}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x+1}

Savarankiško darbo užduotys

  1. Raskite apibrėžimo sritį: a) (2x-1)/(x+5); b) x/(x²-9); c) (x+1)/(x²+x)

  2. Suprastinkite: a) (x²-16)/(x²+4x); b) (2a²-4a)/(a²-4); c) (x²+5x+6)/(x²+3x)

  3. Apskaičiuokite (sudėtis/atimtis): a) 3/(x+1) + 2/(x-1) b) (x+1)/(x-2) - (x-1)/(x+2)

  4. Apskaičiuokite (daugyba): a) (x²-9)/(x+1) · (x²+x)/(x-3) b) (a²-1)/(a+2) · (a²+4a+4)/(a-1)

  5. Apskaičiuokite (dalyba): a) (x²-4)/(x) : (x+2)/(x²) b) (a²-b²)/(a) : (a-b)/(2a)

  6. Supaprastinkite sudėtinę trupmeną: a) (1/a + 1/b) / (1/a - 1/b) b) (x - 1/(x)) / (x + 1)