Dauginamųjų skaidymas

Dauginamųjų skaidymas

Kodėl skaidome?

Dauginamųjų skaidymas (faktorizacija) – daugianario užrašymas dauginamųjų sandauga. Tai naudinga:

• Lygtims spręsti
• Algebrinėms trupmenoms suprastinti
• Išraiškoms supaprastinti

Bendrojo dauginamojo iškėlimas prieš skliaustus

Jei visi daugianario nariai turi bendrą dauginamąjį – jį iškeliame prieš skliaustus.

Taisyklė: a·b + a·c = a(b + c)

Pavyzdžiai:

• 6x + 9 = 3(2x + 3)
• 12a² - 8a = 4a(3a - 2)
• 15x³ - 10x² + 5x = 5x(3x² - 2x + 1)
• -a² + ab - a = -a(a - b + 1)

Kaip rasti bendrąjį dauginamąjį:

1. Raskite koeficientų DBD
2. Raskite visų narių bendrą raidinę dalį (mažiausius laipsnius)
3. Patikrinkite padauginę

Grupavimo metodas

Naudojamas, kai nėra vieno bendrojo dauginamojo, bet narius galima sugrupuoti.

Pavyzdys 1: ab + ac + db + dc

$ab + ac + db + dc = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)$

Pavyzdys 2: x³ - 2x² + 3x - 6

$x³ - 2x² + 3x - 6 = x²(x - 2) + 3(x - 2) = (x² + 3)(x - 2)$

Pavyzdys 3: ax - ay - bx + by

$ax - ay - bx + by = a(x - y) - b(x - y) = (a - b)(x - y)$

Kvadratų skirtumo formulė

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Svarbiausia atpažinti du pilnus kvadratus, atskirtus minuso ženklu.

Pavyzdžiai:

• x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3)
• 4a² - 25 = (2a)² - 5² = (2a + 5)(2a - 5)
• 1 - 16b⁴ = (1 - 4b²)(1 + 4b²) = (1 - 2b)(1 + 2b)(1 + 4b²)
• a² - 2 = (a - √2)(a + √2)

Pilni kvadratai

Kai trinaris yra pilnas kvadratas:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Kaip atpažinti: pirmasis ir trečiasis nariai – pilni kvadratai, vidurinis – dviguba jų sandauga.

Pavyzdžiai:

• x² + 6x + 9 = (x + 3)²
• 4a² - 12a + 9 = (2a - 3)²
• 25x² + 20xy + 4y² = (5x + 2y)²

Trinario ax² + bx + c skaidymas

Kai a = 1: x² + bx + c = (x + x₁)(x + x₂), kur x₁ + x₂ = -b ir x₁ · x₂ = c

Metodas:

1. Raskite du skaičius, kurių suma = b ir sandauga = c
2. Užrašykite kaip dauginį

Pavyzdys: x² + 5x + 6

Reikia: x₁ + x₂ = 5, x₁ · x₂ = 6 → x₁ = 2, x₂ = 3

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Pavyzdys: x² - 7x + 12

x₁ + x₂ = -7, x₁ · x₂ = 12 → x₁ = -3, x₂ = -4

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$

Kai a ≠ 1: naudokite diskriminantą

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

kur x₁, x₂ – lygties ax² + bx + c = 0 šaknys.

Pavyzdys: 2x² - 5x + 3

D = 25 - 24 = 1; x₁ = (5+1)/4 = 3/2; x₂ = (5-1)/4 = 1

$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$

Sudėtingesnių reiškinių skaidymas

Dažnai reikia taikyti kelis metodus nuosekliai.

Pavyzdys 1: 2x³ - 8x

$2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x + 2)(x - 2)$

Pavyzdys 2: x⁴ - 1

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$

Pavyzdys 3: 3a² - 3b² + 6a - 6b

$3a^2 - 3b^2 + 6a - 6b = 3(a^2 - b^2 + 2a - 2b)$ $= 3[(a^2 - b^2) + 2(a - b)]$ $= 3[(a+b)(a-b) + 2(a-b)]$ $= 3(a-b)[(a+b) + 2]$ $= 3(a-b)(a+b+2)$

Algebrinių reiškinių suprastinimas

Skaidymas naudojamas trupmenų suprastinimui.

Pavyzdys:

$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} = \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x}, \quad x \neq 0, \; x \neq -2$

Savarankiško darbo užduotys

1. Iškelkite bendrąjį dauginamąjį: a) 15x³ - 20x²; b) 6a²b - 9ab² + 3ab; c) -4x + 8y - 12

2. Skaidykite grupavimo metodu: a) mx + my - nx - ny b) a²b - ab² + a - b c) x³ + x² - x - 1

3. Taikykite kvadratų skirtumo formulę: a) 9x² - 16; b) a⁴ - b²; c) 1 - 4y²

4. Atpažinkite ir išskaidykite pilną kvadratą: a) x² + 10x + 25; b) 9a² - 6a + 1; c) 4x² + 12xy + 9y²

5. Išskaidykite trinarius: a) x² + 7x + 10; b) x² - 5x - 6; c) 2x² + 7x + 3; d) 3x² - 10x + 3

6. Visiškai išskaidykite: a) 2x² - 8; b) x³ - x; c) a²b - b³

7. Suprastinkite: a) (x² - 9)/(x + 3); b) (2x² - 2)/(x² - 2x + 1); c) (a² - 4a + 4)/(a² - 4)