Reiškinių pertvarkymai

Algebrinis reiškinys

Algebrinis reiškinys – skaičių ir kintamųjų (raidžių) kombinacija su aritmetiniais veiksmais.

Reiškinio nariai – dalys, atskirtos sudėties arba atimties ženklu.

Panašieji nariai – nariai su vienoda raidine dalimi (pvz., 3x² ir -5x² yra panašieji).

Panašiųjų narių jungimas

Panašiuosius narius galima sujungti: susumuojami koeficientai, raidinė dalis lieka ta pati.

Pavyzdžiai:

3x + 5x = 8x
7a² - 3a² + a² = 5a²
2xy - 5xy + 3x = -3xy + 3x (xy ir x – skirtingi nariai, nejungiami)

Sudėtingesnis pavyzdys: $4a^2 - 3ab + 2b^2 - a^2 + 5ab - b^2 = 3a^2 + 2ab + b^2$

Skliaustų skleidimas

Taisyklė: Kiekvienas narys skliaustuose dauginamas iš priešskliaustinio daugiklio.

$a(b + c) = ab + ac$ $a(b - c) = ab - ac$ $-(b + c) = -b - c$ $-(b - c) = -b + c$

Pavyzdžiai:

3(x - 4) = 3x - 12
-2(a + 5) = -2a - 10
-(3x - 7) = -3x + 7
5x(x² - 2x + 1) = 5x³ - 10x² + 5x

Trumposios daugybos formulės

Šios formulės leidžia greitai atlikti sudauginimą arba išskaidyti reiškinį.

1. Sumos kvadratas

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Įrodymas: (a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Pavyzdžiai:

(x + 3)² = x² + 6x + 9
(2a + 5)² = 4a² + 20a + 25
(3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²

2. Skirtumo kvadratas

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Pavyzdžiai:

(x - 4)² = x² - 8x + 16
(3a - 1)² = 9a² - 6a + 1
(5 - 2b)² = 25 - 20b + 4b²

3. Sumos ir skirtumo sandauga (skirtumas kvadratų)

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Pavyzdžiai:

(x + 5)(x - 5) = x² - 25
(3a + 2b)(3a - 2b) = 9a² - 4b²
(1 + √2)(1 - √2) = 1 - 2 = -1

4. Sumos kubas ir skirtumo kubas

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Pavyzdžiai:

(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
(2a - 1)³ = 8a³ - 12a² + 6a - 1

5. Kubų suma ir skirtumas

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Pavyzdžiai:

x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² - 2x + 4)
27 - a³ = 3³ - a³ = (3 - a)(9 + 3a + a²)

Reiškinio reikšmės skaičiavimas

Kartais paprasčiau apskaičiuoti reiškinio reikšmę, transformavus reiškinį.

Pavyzdys: Apskaičiuokite 47² - 53² nedarant eilinių skaičiavimų.

$47^2 - 53^2 = (47+53)(47-53) = 100 \cdot (-6) = -600$

Pavyzdys: Apskaičiuokite 101² - 2 · 101 · 1 + 1²

$101^2 - 2 \cdot 101 \cdot 1 + 1^2 = (101 - 1)^2 = 100^2 = 10000$

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1. Supaprastinkite: (2x - 3)² - (x + 1)(2x - 5)

Sprendimas:

(2x-3)² = 4x² - 12x + 9
(x+1)(2x-5) = 2x² - 5x + 2x - 5 = 2x² - 3x - 5
Rezultatas: 4x² - 12x + 9 - (2x² - 3x - 5) = 4x² - 12x + 9 - 2x² + 3x + 5 = 2x² - 9x + 14

Pavyzdys 2. Supaprastinkite: (a+b)² + (a-b)²

Sprendimas:

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
Suma: 2a² + 2b²

Pavyzdys 3. Išreikškite kaip kvadratą: 4x² - 20xy + 25y²

Sprendimas: 4x² - 20xy + 25y² = (2x)² - 2·(2x)·(5y) + (5y)² = (2x - 5y)²

Savarankiško darbo užduotys

Sujunkite panašiuosius narius: a) 5x² - 3x + 2x² + 7x - 1 b) 4ab - 3a + 2ab + a - 6
Atskleiskite skliaustus: a) 3a(2a - 4b + 1) b) -(5x - 3y + 2) c) 2x(x - 1) - 3(x + 2)
Taikykite trumposios daugybos formules: a) (3x + 2)² b) (5a - 3b)² c) (4x + 7)(4x - 7) d) (x + 2)³
Supaprastinkite: a) (x + 3)² - (x - 3)² b) (2a - b)² + 4ab c) (x + y + z)² - 2(xy + yz + xz) [patarimas: naudokite (a+b+c)²]
Apskaičiuokite patogiu būdu: a) 99² (naudokite (100-1)²) b) 201 · 199 c) 103³ (naudokite (100+3)³)
Raskite reiškinio x² + 4x + 4 reikšmę, kai x = -3.