Natūralieji ir sveikieji skaičiai

Skaičių aibės

Matematikoje skaičiai skirstomi į kelias aibes, kurios sudaro hierarchiją:

N – natūraliųjų skaičių aibė: $\{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}$
Z – sveikųjų skaičių aibė: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$
Q – racionaliųjų skaičių aibė: visi skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmeną $p/q$ , kur $p, q \in \mathbb{Z}$ ir $q \neq 0$
R – realiųjų skaičių aibė: visi racionalieji ir iracionalieji skaičiai (pvz., $\sqrt{2}$ , $\pi$ )

Hierarchija: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Kiekvienas natūralusis skaičius yra ir sveikasis, kiekvienas sveikasis – ir racionalusis, ir t. t.

Skaičių tiesė

Skaičiai vaizduojami ant skaičių tiesės. Kairiau esantis skaičius yra mažesnis.

... -3  -2  -1   0   1   2   3 ...
 ●───●───●───●───●───●───●───●

Absoliutinė vertė

Apibrėžimas: Skaičiaus x absoliutinė vertė |x| yra jo atstumas nuo nulio skaičių tiesėje.

$|x| = \begin{cases} x, & \text{jei } x \geq 0 \\ -x, & \text{jei } x < 0 \end{cases}$

Savybės:

|x| ≥ 0 visada
|x| = |-x|
|x · y| = |x| · |y|
Trikampio nelygybė: |x + y| ≤ |x| + |y|

Pavyzdžiai:

|5| = 5
|-7| = 7
|-3,14| = 3,14
|0| = 0

Lyginiai ir nelyginiai skaičiai

Lyginis skaičius dalijasi iš 2 be liekanos: ..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
Nelyginis skaičius – nedalijasi iš 2: ..., -3, -1, 1, 3, 5, ...

Taisyklės:

Lyginis + lyginis = lyginis
Nelyginis + nelyginis = lyginis
Lyginis + nelyginis = nelyginis
Lyginis × bet koks = lyginis

Pirminiai skaičiai

Pirminis skaičius – natūralusis skaičius, didesnis už 1, kuris dalijasi tik iš 1 ir iš savęs.

Pirminiai skaičiai: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Pastaba: 2 – vienintelis lyginis pirminis skaičius.

Sudėtinis skaičius – skaičius, turintis daugiau nei du daliklius (pvz., 12 = 2² · 3).

Didžiausias bendrasis daliklis (DBD)

DBD(a, b) – didžiausias skaičius, iš kurio dalijasi ir a, ir b.

Radimo būdai:

1 būdas – skaidymas pirminiais dauginamaisiais: DBD(36, 48):

36 = 2² · 3²
48 = 2⁴ · 3
DBD = 2² · 3 = 12

2 būdas – Euklido algoritmas: DBD(48, 36): 48 = 1 · 36 + 12; 36 = 3 · 12 + 0 → DBD = 12

Mažiausias bendrasis kartotinis (MBK)

MBK(a, b) – mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš a ir iš b.

Formulė: MBK(a, b) = a · b / DBD(a, b)

Pavyzdys: MBK(36, 48) = 36 · 48 / 12 = 144

Veiksmai su sveikaisiais skaičiais

Sudėtis ir atimtis:

(-3) + (-5) = -8 (vienodų ženklų – susumuoti, palikti ženklą)
(-7) + 4 = -3 (skirtingų ženklų – atimti mažesnį iš didesnio, palikti didesnio ženklą)
5 - (-3) = 5 + 3 = 8 (atimti neigiamą = pridėti teigiamą)

Daugyba ir dalyba:

(+) · (+) = (+)
(-) · (-) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)

Pavyzdžiai:

(-4) · (-3) = 12
(-6) · 2 = -12
(-15) : (-3) = 5
18 : (-6) = -3

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1. Raskite: |(-3)² - |-7||

Sprendimas:

(-3)² = 9
|-7| = 7
|9 - 7| = |2| = 2

Pavyzdys 2. Raskite DBD(72, 120) ir MBK(72, 120).

Sprendimas:

72 = 2³ · 3²
120 = 2³ · 3 · 5
DBD = 2³ · 3 = 24
MBK = 2³ · 3² · 5 = 360

Pavyzdys 3. Kokia skaičiaus -15 absoliutinė vertė? Ar -15 pirminis?

Sprendimas: |-15| = 15. Skaičius -15 nėra natūralusis, todėl pirminumo savybė jam netaikoma. Natūralusis skaičius 15 = 3 · 5 – sudėtinis.

Savarankiško darbo užduotys

Surašykite visus pirminius skaičius nuo 1 iki 50.
Apskaičiuokite: a) |-12| + |8|; b) |-5| - |-9|; c) |(-4)·3|
Raskite DBD ir MBK: a) DBD(42, 70); b) MBK(15, 18); c) DBD(84, 126)
Apskaičiuokite: a) (-7) + (-13); b) (-8) - (-5); c) (-4)·(-6)·(-1); d) (-36):(-9)
Ar teisingas teiginys: kiekvienas natūralusis skaičius yra racionalusis? Pagrįskite.
Tarp skaičių -5, 0, 3, -1, 7, -4 suraskite: a) didžiausią; b) mažiausią; c) turintį didžiausią absoliutinę vertę.
Mokykloje yra 36 mergaitės ir 48 berniukai. Juos reikia suskirstyti į kuo didesnes vienodo dydžio grupes, kad kiekvienoje grupėje būtų tik mergaitės arba tik berniukai. Kiek mokinių bus kiekvienoje grupėje?