Paprastosios ir dešimtainės trupmenos

Paprastosios trupmenos

Trupmena a/b reiškia, kad vienetas padalintas į b lygias dalis ir paimta a tokių dalių.

Skaitiklis – viršutinis skaičius (a)
Vardiklis – apatinis skaičius (b ≠ 0)
Taisyklingoji trupmena: a < b (pvz., 3/5)
Netaisyklingoji trupmena: a ≥ b (pvz., 7/4)

Suprastinimas ir plėtimas

Suprastinimas – skaitiklio ir vardiklio dalyba iš jų DBD:

$\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}$

Plėtimas – skaitiklio ir vardiklio daugyba iš to paties skaičiaus (ne nulio):

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$

Mišrieji skaičiai

Mišrusis skaičius sudarytas iš sveikosios ir trupmeninės dalies.

Neteisingos trupmenos → mišrusis:

$\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$ (nes 11 = 2·4 + 3)

Mišrusis → neteisingas:

$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$

Sudėtis ir atimtis

Vienodi vardikliai:

$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$

Skirtingi vardikliai – reikia rasti bendrą vardiklį (MBK):

$\frac{1}{4} + \frac{2}{6} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$

Pavyzdys su mišriaisiais:

$2\frac{1}{3} + 1\frac{3}{4} = \frac{7}{3} + \frac{7}{4} = \frac{28}{12} + \frac{21}{12} = \frac{49}{12} = 4\frac{1}{12}$

Daugyba ir dalyba

Daugyba:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Pavyzdys:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

Dalyba (dauginama iš atvirkštinės trupmenos):

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Pavyzdys:

$\frac{5}{6} : \frac{10}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$

Dešimtainės trupmenos

Dešimtainė trupmena – trupmenos su vardikliu 10, 100, 1000, ... užrašymo būdas.

Baigtinė dešimtainė trupmena: 0,25 = 25/100 = 1/4
Periodinė dešimtainė trupmena: 0,333... = 1/3; žymima 0,(3)

Vertimas paprastąja:

$0{,}36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

Periodinės trupmenos pavertimas:

Tarkime, x = 0,(27) = 0,272727... 100x = 27,272727... 100x - x = 27 99x = 27 x = 27/99 = 3/11

Veiksmai:

Sudėtis/atimtis: sulygiuoti dešimtainę kablelį
Daugyba: sudauginti kaip sveikuosius, perstumti kabelį
Dalyba iš 10, 100, 1000: kablelį slinkti į kairę

Pavyzdžiai:

3,14 + 2,6 = 5,74
2,5 · 0,4 = 1,00 = 1
7,2 : 100 = 0,072

Apvalinimas

Apvalinant iki nurodyto tikslumo:

Jei kitas skaitmuo ≥ 5 – apvaliname aukštyn
Jei kitas skaitmuo < 5 – apvaliname žemyn (paliekame)

Pavyzdžiai:

3,456 ≈ 3,46 (iki šimtųjų)
3,454 ≈ 3,45 (iki šimtųjų)
7,85 ≈ 7,9 (iki dešimtųjų)
12,349 ≈ 12 (iki vienetų)

Procentai

Procentas – šimtoji dalis. 1% = 1/100 = 0,01

Ryšys su trupmenomis:

25% = 25/100 = 1/4 = 0,25
33,(3)% ≈ 1/3
150% = 150/100 = 3/2 = 1,5

Pagrindiniai uždavinių tipai:

Tipo 1: Kiek yra p% nuo skaičiaus a? Atsakymas: a · p/100

Tipo 2: Kiek procentų sudaro a nuo b? Atsakymas: (a/b) · 100%

Tipo 3: Skaičius a sudaro p% nuo kurio skaičiaus? Atsakymas: a · 100 / p

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite: 2⅓ · 1½ - ¾

Sprendimas:

2⅓ = 7/3; 1½ = 3/2
7/3 · 3/2 = 21/6 = 7/2
7/2 - 3/4 = 14/4 - 3/4 = 11/4 = 2¾

Pavyzdys 2. Paverskite 0,(142857) paprastąja trupmena.

Sprendimas:

x = 0,(142857), periodas 6 skaitmenys
1 000 000x = 142857,(142857)
999 999x = 142857
x = 142857/999999 = 1/7

Pavyzdys 3. Prekė atpigo 15%. Nauja kaina 340 €. Kokia buvo senoji kaina?

Sprendimas:

Nauja kaina = 85% nuo senosios
Senoji kaina = 340 · 100/85 = 400 €

Savarankiško darbo užduotys

Suprastinkite trupmenas: a) 24/36; b) 45/75; c) 84/112
Apskaičiuokite: a) 3/8 + 5/12; b) 2⅔ - 1¾; c) 4/9 · 3/8; d) 5/6 : 10/3
Paverskite dešimtainėmis trupmenomis: a) 3/8; b) 5/6; c) 7/12
Paverskite paprastosiomis trupmenomis: a) 0,625; b) 0,(3); c) 0,(18)
Apvalinkite: a) 3,7854 iki šimtųjų; b) 12,465 iki dešimtųjų; c) 0,00453 iki tūkstantųjų
Klasėje yra 30 mokinių. 40% yra berniukai. Kiek mergaičių?
Kompiuteris kainavo 800 €. Jo kaina sumažėjo 12,5%. Kokia nauja kaina?
Iš 240 kg derliaus 30 kg sudaro bulvės. Kiek procentų derliaus sudaro bulvės?