Procentai, mišiniai ir finansiniai modeliai

Procentai, mišiniai ir finansiniai modeliai

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Procentai, mišiniai ir finansiniai modeliai“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Kai procentinis pokytis kartojasi, kiekvieną kartą jis skaičiuojamas nuo naujos reikšmės. Todėl taikomas daugybos koeficientas ir laipsnis. Metinėms palūkanoms $p$ procentų po $n$ laikotarpių pradinė suma dauginama iš $(1+p/100)^n$.

Mišinio koncentracija yra tirpinio masės ir viso mišinio masės santykis. Maišant tirpalus tirpinio masė išlieka sudedama, o koncentracijos procentų negalima tiesiog suvidurkinti, jei tirpalų masės skirtingos. Pirmiausia skaičiuojamos medžiagos masės.

Dalijant dydį proporcingai, santykio nariai sudedami ir randama vienos dalies vertė. Gautas dalis būtina patikrinti: jų suma turi būti lygi pradinei visumai. Finansiniuose uždaviniuose galutinis atsakymas paprastai apvalinamas iki centų.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$A_n=A_0(1+p/100)^n$$ $$c=m_{tirpinio}/m_{tirpalo}\cdot100\%$$ $$viena\ dalis=visuma/(r_1+r_2+\cdots)$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Į 300 g 10 % druskos tirpalo įpilta 200 g 25 % tirpalo. Raskite naują koncentraciją.

1. Pirmajame tirpale druskos $300\cdot0{,}10=30$ g.
2. Antrajame tirpale druskos $200\cdot0{,}25=50$ g.
3. Iš viso druskos 80 g, tirpalo masė 500 g.
4. Koncentracija $80/500\cdot100\%=16\%$.

Atsakymas. Naujo tirpalo koncentracija 16 %.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Kelių metų palūkanas skaičiuoti visada nuo pradinės sumos.
• Skirtingos masės tirpalų koncentracijas paprastai suvidurkinti.
• Proporcingai dalijant pamiršti santykio narių sumą.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. 1000 € indėlis auga po 5 % dvejus metus. Kokia suma?
2. 500 mažėja po 10 % tris kartus. Kokia reikšmė?
3. Padalykite 180 santykiu 2 : 3 : 4.
4. Kiek druskos yra 250 g 12 % tirpalo?
5. 30 g druskos ištirpinta 170 g vandens. Kokia koncentracija?
6. 200 g 20 % tirpalą atskiedė 100 g vandens. Kokia nauja koncentracija?
7. Kaina kasmet kyla 3 %. Užrašykite modelį pradinei kainai $P$.
8. Kodėl +20 % ir −20 % neatšaukia vienas kito?

Atsakymai savitikrai

1. 1102,50 €.
2. 364,5.
3. 40, 60 ir 80.
4. 30 g.
5. 15 %.
6. $40/300=13\frac13$ %.
7. $P_n=P\cdot1{,}03^n$.
8. Antras pokytis skaičiuojamas nuo jau pakeistos reikšmės; bendras koeficientas $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Procentai, mišiniai ir finansiniai modeliai. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.