Laipsniai ir šaknys

Natūralusis laipsnis

Skaičiaus a natūralusis laipsnis n:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ kartų}}$

Pagrindas – skaičius a
Rodiklis – skaičius n

Pavyzdžiai:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8
(-3)² = (-3)·(-3) = 9
(-3)³ = (-3)·(-3)·(-3) = -27
(1/2)⁴ = 1/16

Pastaba: Neigiamo skaičiaus lyginis laipsnis yra teigiamas, nelyginis – neigiamas.

Laipsnio savybės

Kai a > 0 ir m, n – natūralieji skaičiai:

Savybė	Formulė	Pavyzdys
Sandauga	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$
Dalmuo	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$3^5 : 3^2 = 3^3 = 27$
Laipsnis laipsniu	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(2^3)^2 = 2^6 = 64$
Sandaugos laipsnis	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2 \cdot 3)^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Dalmenio laipsnis	$(a/b)^n = a^n/b^n$	$(2/3)^3 = 8/27$

Nulinis laipsnis

$a^0 = 1 \quad \text{kai } a \neq 0$

Pavyzdžiai: 5⁰ = 1; (-7)⁰ = 1; (1000000)⁰ = 1

Pastaba: 0⁰ nėra apibrėžtas.

Neigiamas laipsnis

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{kai } a \neq 0$

Pavyzdžiai:

2⁻³ = 1/2³ = 1/8
10⁻² = 1/100 = 0,01
(1/3)⁻² = (3/1)² = 9
5⁻¹ = 1/5

Svarbu: Laipsnio savybės galioja ir neigiamam laipsnio rodikliui.

Kvadratinė šaknis

Skaičiaus a kvadratinė šaknis √a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a:

$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a \text{ ir } b \geq 0$

Apibrėžimo sritis: a ≥ 0 (neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies realiųjų skaičių aibėje nėra)

Savybės:

√(a·b) = √a · √b (a, b ≥ 0)
√(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
(√a)² = a (a ≥ 0)
√(a²) = |a|

Pavyzdžiai:

√36 = 6
√(1/4) = 1/2
√18 = √(9·2) = 3√2
√50 = √(25·2) = 5√2
√(a²b⁴) = |a|·b² (kai b ≥ 0)

n-tojo laipsnio šaknis

$\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a$

Kai n lyginis: a ≥ 0; √[n] ≥ 0
Kai n nelyginis: a gali būti bet koks; ³√(-8) = -2

Pavyzdžiai:

³√27 = 3 (nes 3³ = 27)
⁴√16 = 2 (nes 2⁴ = 16)
³√(-125) = -5 (nes (-5)³ = -125)

Trupmeninis laipsnis

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

Pavyzdžiai:

$8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$
$27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$
$32^{-2/5} = \frac{1}{32^{2/5}} = \frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Supaprastinimo pavyzdžiai

Pavyzdys 1. Supaprastinkite: (3a²b)³ · (ab²)⁻²

Sprendimas:

(3a²b)³ = 27a⁶b³
(ab²)⁻² = a⁻²b⁻⁴
Rezultatas: 27a⁶b³ · a⁻²b⁻⁴ = 27a⁴b⁻¹ = 27a⁴/b

Pavyzdys 2. Supaprastinkite: √(48a³b²)

Sprendimas:

48 = 16 · 3; a³ = a²·a; b² = b²
√(48a³b²) = √(16·3·a²·a·b²) = 4|a|b√(3a)

Pavyzdys 3. Apskaičiuokite: $16^{3/4} - 8^{-1/3} + 25^{1/2}$

Sprendimas:

$16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$
$8^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$
$25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$
Atsakymas: 8 - 1/2 + 5 = 12,5

Savarankiško darbo užduotys

Apskaičiuokite: a) 3⁴; b) (-2)⁵; c) (2/3)³; d) (-1)¹⁰⁰
Taikykite laipsnio savybes: a) 2⁵ · 2³; b) 3⁷ : 3⁴; c) (5²)³; d) (2·3)⁴
Apskaičiuokite su neigiamais laipsniais: a) 4⁻²; b) (1/2)⁻³; c) 10⁻⁴; d) 3⁰ + 3⁻¹
Supaprastinkite: a) (a³)² · a⁻⁴; b) (2x²)³ : (4x); c) (a/b)⁻² · b²
Apskaičiuokite šaknis: a) √144; b) √(0,04); c) ³√(-27); d) ⁴√81
Apskaičiuokite trupmeninius laipsnius: a) $64^{1/2}$ ; b) $125^{2/3}$ ; c) $16^{3/4}$ ; d) $9^{-3/2}$
Supaprastinkite: √(12a⁴b³) · √(3b)
Užrašykite kaip vieną laipsnį: a) $\sqrt[3]{a^5}$ ; b) $(\sqrt{a})^3$ ; c) $\frac{1}{\sqrt[5]{a^2}}$