Duomenų rinkimas ir grupavimas

Kam reikia rinkti duomenis?

Statistika padeda priimti sprendimus, pagrįstus faktais, o ne spėjimais. Duomenis renkame, kad galėtume:

Atsakyti į klausimus (pvz., „Koks populiariausias sportas klasėje?")
Pastebėti tendencijas (pvz., „Ar mokinių pažymiai gerėja?")
Palyginti grupes (pvz., „Ar berniukai aukštesni už mergaites?")

Populiacija ir imtis

Populiacija (generalinė visuma) – visa tiriama grupė (pvz., visi Lietuvos 10-okai).
Imtis – dalis populiacijos, kurią realiai tiriame (pvz., 50 mūsų mokyklos 10-okų).

Imtis turi būti atsitiktinė ir pakankamo dydžio, kad atspindėtų populiaciją.

Duomenų tipai

Tipas	Aprašymas	Pavyzdžiai
Kiekybiniai diskretūs	Skaičiai, įgyjantys atskiras reikšmes	Mokinių skaičius klasėje, įvarčiai per rungtynes
Kiekybiniai tolydūs	Skaičiai, galintys įgyti bet kurią reikšmę intervale	Ūgis, svoris, temperatūra, laikas
Kokybiniai (kategoriniai)	Žodžiais ar kategorijomis aprašomi duomenys	Akių spalva, mėgstamas sportas, lytis

Pavyzdys 1. Nustatykite duomenų tipą:

Mokinių pažymiai (4, 5, 6, ..., 10) → kiekybiniai diskretūs
Mokinių ūgis (cm) → kiekybiniai tolydūs
Mėgstama muzikos rūšis → kokybiniai

Dažnių lentelė

Dažnis $f$ – kiek kartų reikšmė pasikartoja duomenyse.

Pavyzdys 2. Klasėje 20 mokinių gavo šiuos matematikos pažymius:

$7, 8, 6, 9, 7, 8, 10, 7, 6, 8, 9, 7, 8, 7, 6, 8, 9, 7, 10, 8$

Sudarykime dažnių lentelę:

Pažymys	Skaičiavimas	Dažnis $f$
6	∣∣∣	3
7	∣∣∣∣∣∣	6
8	∣∣∣∣∣∣	6
9	∣∣∣	3
10	∣∣	2
Iš viso		20

Patikra: $3 + 6 + 6 + 3 + 2 = 20$ ✓

Santykinis dažnis

Santykinis dažnis – tai dažnis, padalytas iš bendro duomenų skaičiaus:

$f_s = \frac{f}{n}$

Santykinis dažnis parodo, kokia duomenų dalis atitinka tą reikšmę. Galima išreikšti procentais: $f_s \cdot 100\%$ .

Pavyzdys 3. Papildykime pažymių lentelę santykiniu dažniu:

Pažymys	Dažnis $f$	Santykinis dažnis $f_s$	Procentai
6	3	$3/20 = 0{,}15$	15%
7	6	$6/20 = 0{,}30$	30%
8	6	$6/20 = 0{,}30$	30%
9	3	$3/20 = 0{,}15$	15%
10	2	$2/20 = 0{,}10$	10%
Iš viso	20	1,00	100%

Suminis (kumuliacinis) dažnis

Suminis dažnis $F$ – tai visų dažnių suma nuo mažiausios reikšmės iki einamosios. Jis parodo, kiek duomenų yra ne didesni už tam tikrą reikšmę.

Pavyzdys 4. Pažymių suminis dažnis:

Pažymys	Dažnis $f$	Suminis dažnis $F$
6	3	3
7	6	$3 + 6 = 9$
8	6	$9 + 6 = 15$
9	3	$15 + 3 = 18$
10	2	$18 + 2 = 20$

Iš lentelės matome: 15 mokinių gavo 8 arba mažesnį pažymį.

Grupavimas į intervalus

Kai duomenys yra tolydūs arba turi daug skirtingų reikšmių, juos grupuojame į intervalus (klases).

Grupavimo žingsniai

Raskite mažiausią ir didžiausią reikšmę.
Apskaičiuokite plotį: $R = x_{\max} - x_{\min}$ .
Pasirinkite intervalų skaičių (dažniausiai 5–8).
Apskaičiuokite intervalo plotį: $h = \dfrac{R}{\text{intervalų skaičius}}$ (suapvalinkite patogiai).
Sudarykite intervalus ir suskaičiuokite dažnius.

Pavyzdys 5. 20 mokinių 100 m bėgimo rezultatai (sekundėmis):

$13{,}2;\; 14{,}5;\; 12{,}8;\; 15{,}1;\; 13{,}7;\; 14{,}0;\; 13{,}5;\; 15{,}8;\; 12{,}5;\; 14{,}2;$ $13{,}9;\; 14{,}8;\; 13{,}1;\; 15{,}3;\; 12{,}9;\; 14{,}6;\; 13{,}4;\; 14{,}1;\; 15{,}0;\; 13{,}6$

$x_{\min} = 12{,}5$ ; $x_{\max} = 15{,}8$
$R = 15{,}8 - 12{,}5 = 3{,}3$
Pasirenkame 4 intervalus: $h = 3{,}3 / 4 \approx 1{,}0$

Intervalas	Dažnis $f$	Santykinis dažnis
[12,5; 13,5)	4	0,20
[13,5; 14,5)	7	0,35
[14,5; 15,5)	6	0,30
[15,5; 16,5)	3	0,15
Iš viso	20	1,00

Intervalas žymimas $[a; b)$ – reiškia, kad $a$ įeina, o $b$ – ne.

Intervalo vidurio taškas

Kai duomenys sugrupuoti į intervalus, dažnai naudojame intervalo vidurį kaip reprezentacinę reikšmę:

$x_v = \frac{a + b}{2}$

Pavyzdys 6. Intervalo [13,5; 14,5) vidurio taškas:

$x_v = \frac{13{,}5 + 14{,}5}{2} = 14{,}0$

Savarankiško darbo užduotys

Nustatykite duomenų tipą: a) mokinių skaičius mokykloje; b) oro temperatūra; c) mėgstamiausia spalva; d) kontrolinio darbo taškai (0–50).
Klasėje atlikta apklausa „Kiek valandų per savaitę sportuojate?". Gauti atsakymai: 2, 5, 3, 0, 4, 2, 6, 3, 1, 5, 2, 4, 3, 0, 2, 3, 5, 1, 4, 3. Sudarykite dažnių lentelę.
Naudodami 2 užduoties duomenis, apskaičiuokite kiekvienos reikšmės santykinį dažnį ir išreikškite procentais.
Naudodami 2 užduoties duomenis, apskaičiuokite suminį dažnį. Kiek mokinių sportuoja ne daugiau kaip 3 valandas per savaitę?
25 mokinių ūgiai (cm): 158, 163, 171, 165, 175, 160, 168, 172, 155, 166, 170, 163, 178, 161, 167, 174, 159, 165, 169, 173, 162, 176, 164, 170, 157. Sugrupuokite į 5 intervalus ir sudarykite dažnių lentelę.
Naudodami 5 užduoties duomenis, apskaičiuokite kiekvieno intervalo santykinį dažnį ir vidurio tašką.
Paaiškinkite, kuo skiriasi populiacija nuo imties. Pateikite savo pavyzdį.
Matematikos kontrolinio darbo rezultatai: 45, 67, 82, 73, 91, 56, 78, 65, 88, 72, 60, 85, 70, 77, 63. Sugrupuokite į intervalus kas 10 taškų (40–50, 50–60, ..., 90–100) ir sudarykite dažnių lentelę.
Kodėl tolydžius duomenis (pvz., ūgį) geriau grupuoti į intervalus, o ne rašyti kiekvieną reikšmę atskirai? Paaiškinkite.
Parduotuvė užregistravo pirkėjų skaičių kas valandą: 12, 25, 31, 28, 35, 22, 18, 30, 27, 15. Sudarykite dažnių lentelę, sugrupavę duomenis į 3 intervalus.