Statistinės charakteristikos

Statistinės charakteristikos

Aritmetinis vidurkis

Aritmetinis vidurkis $\bar{x}$ – tai visų reikšmių suma, padalyta iš jų skaičiaus:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Pavyzdys 1. Mokinys per 5 kontrolinius gavo: 7, 8, 6, 9, 10. Koks pažymių vidurkis?

$\bar{x} = \frac{7 + 8 + 6 + 9 + 10}{5} = \frac{40}{5} = 8$

---

Vidurkis iš dažnių lentelės

Kai duomenys pateikti dažnių lentelėje, vidurkis skaičiuojamas:

$\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{\sum f_i} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \ldots + x_k f_k}{n}$

Pavyzdys 2. Klasės matematikos pažymiai:

$\bar{x} = \frac{173}{22} \approx 7{,}86$

---

Mediana

Mediana $Me$ – tai reikšmė, kuri dalija surikiuotus duomenis į dvi lygias dalis.

Duomenis pirmiausia surikiuojame didėjimo tvarka, tada:

• Jei $n$ – nelyginis: mediana yra vidurinė reikšmė (eilės numeris $\frac{n+1}{2}$).
• Jei $n$ – lyginis: mediana yra dviejų vidurinių reikšmių vidurkis.

$Me = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}}, & \text{kai } n \text{ nelyginis} \\ \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}, & \text{kai } n \text{ lyginis} \end{cases}$

Pavyzdys 3. Duomenys: 3, 7, 1, 9, 5. Raskite medianą.

Surikiuojame: 1, 3, 5, 7, 9. Čia $n = 5$ (nelyginis), mediana yra 3-ia reikšmė: $Me = 5$.

Pavyzdys 4. Duomenys: 4, 8, 2, 6, 10, 12. Raskite medianą.

Surikiuojame: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Čia $n = 6$ (lyginis):

$Me = \frac{6 + 8}{2} = 7$

---

Mediana iš dažnių lentelės

Raskite suminį dažnį ir nustatykite, kuri reikšmė atitinka vidurinę poziciją.

Pavyzdys 5. Naudojame 2-ojo pavyzdžio lentelę ($n = 22$, lyginis). Vidurinės pozicijos: 11-a ir 12-a.

11-a ir 12-a reikšmės patenka į pažymį 8 (suminis dažnis pirmą kartą pasiekia arba viršija 11 ties 8). Taigi $Me = 8$.

---

Moda

Moda $Mo$ – tai dažniausiai pasitaikanti reikšmė.

• Duomenų rinkinys gali turėti vieną modą, kelias modas arba neturėti modos (jei visos reikšmės pasikartoja vienodai).

Pavyzdys: Iš 2-ojo pavyzdžio lentelės: dažniausias pažymys yra 8 (dažnis 8), todėl $Mo = 8$.

---

Imties plotis (variacijos plotis)

Imties plotis $R$ – tai skirtumas tarp didžiausios ir mažiausios reikšmės:

$R = x_{\max} - x_{\min}$

Plotis parodo, kaip plačiai pasiskirsčiusios duomenų reikšmės.

Pavyzdys: Pažymiai: 6, 7, 8, 9, 10. Plotis: $R = 10 - 6 = 4$.

---

Standartinis nuokrypis

Standartinis nuokrypis $\sigma$ parodo, kiek vidutiniškai duomenys nukrypsta nuo vidurkio.

Skaičiavimo žingsniai

1. Apskaičiuokite vidurkį $\bar{x}$.
2. Raskite kiekvieno duomens nuokrypį nuo vidurkio: $x_i - \bar{x}$.
3. Pakelkite nuokrypius kvadratu: $(x_i - \bar{x})^2$.
4. Apskaičiuokite vidurkį iš kvadratų – tai dispersija $D$:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

1. Ištraukite kvadratinę šaknį – tai standartinis nuokrypis:

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Pavyzdys 6. Duomenys: 4, 6, 8, 10, 12. Apskaičiuokite standartinį nuokrypį.

1 žingsnis: $\bar{x} = \dfrac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$

2–3 žingsniai:

4 žingsnis: $D = \dfrac{40}{5} = 8$

5 žingsnis: $\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$

Tai reiškia, kad duomenys vidutiniškai nukrypsta nuo vidurkio apie 2,83.

---

Kurią charakteristiką naudoti?

Pavyzdys 7. Įmonės darbuotojų atlyginimai (eurais): 800, 900, 850, 950, 900, 870, 5000.

• Vidurkis: $\bar{x} = \frac{800+900+850+950+900+870+5000}{7} = \frac{10270}{7} \approx 1467$
• Mediana: surikiuojame: 800, 850, 870, 900, 900, 950, 5000 → $Me = 900$

Vidurkis (1467 €) yra gerokai didesnis nei dauguma atlyginimų dėl vienos labai didelės reikšmės (5000 €). Mediana (900 €) tiksliau atspindi „tipinį" atlyginimą. Šiuo atveju mediana yra geresnė charakteristika.

---

Savarankiško darbo užduotys

1. Apskaičiuokite vidurkį: 12, 15, 18, 21, 24.

2. Raskite medianą: a) 3, 7, 1, 8, 5, 9, 2; b) 10, 20, 30, 40, 50, 60.

3. Raskite modą: 5, 3, 7, 3, 8, 5, 3, 9, 5, 3.

4. Mokinių pažymiai pateikti lentelėje. Apskaičiuokite vidurkį ir raskite medianą.

1. Duomenys: 10, 15, 20, 25, 30. Apskaičiuokite imties plotį ir standartinį nuokrypį.

2. Du mokiniai per 5 kontrolinius gavo: Jonas – 7, 7, 8, 7, 8; Petras – 5, 10, 6, 9, 7. Palyginkite jų vidurkius ir standartinius nuokrypius. Kuris mokosi stabiliau?

3. Sportininko šuolių į tolį rezultatai (m): 5,20; 5,45; 5,30; 5,15; 5,40; 5,35. Raskite vidurkį, medianą ir imties plotį.

4. Raskite, kokią reikšmę reikia pridėti prie duomenų rinkinio , kad vidurkis būtų lygus 6.

5. Duomenys: 100, 102, 98, 105, 97, 101, 99, 103. Apskaičiuokite vidurkį ir standartinį nuokrypį. Ar duomenys stipriai išsisklaidę?

6. Parduotuvėje per savaitę parduota batelių (pagal dydį):

Raskite modą, medianą ir vidurkį. Kurią charakteristiką naudotumėte užsakydami naują partiją?