Imtis, sklaida ir normalusis skirstinys

Imtis, sklaida ir normalusis skirstinys

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Imtis, sklaida ir normalusis skirstinys“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Populiacija yra visa tiriama objektų grupė, o imtis – jos dalis, iš kurios daromos išvados. Imtis turi būti pakankamo dydžio ir atrinkta taip, kad nebūtų sistemingai palankesnė vienai grupei. Patogioji imtis dažnai neatspindi populiacijos.

Vidurkis aprašo duomenų centrą, bet ne jų išsibarstymą. Dispersija yra kvadratinių nuokrypių nuo vidurkio vidurkis, o standartinis nuokrypis – dispersijos kvadratinė šaknis. Mažesnis standartinis nuokrypis reiškia, kad reikšmės glaudžiau telkiasi apie vidurkį.

Normaliojo skirstinio grafikas yra simetriška varpo formos kreivė. Maždaug 68 % reikšmių patenka į intervalą per vieną standartinį nuokrypį nuo vidurkio, jei modelis tinkamas. Ne kiekvienas duomenų rinkinys yra normalusis, todėl pirmiausia vertinama histogramos forma ir išskirtys.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

$$\bar{x}=(x_1+\cdots+x_n)/n$$ $$s^2=\sum(x_i-\bar{x})^2/n$$ $$s=\sqrt{s^2}$$ $$[\mu-\sigma;\mu+\sigma]\approx68\%$$

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Duomenys yra 2, 4, 4, 6. Raskite vidurkį, dispersiją dalijant iš $n$ ir standartinį nuokrypį.

1. Vidurkis: $(2+4+4+6)/4=4$.
2. Nuokrypių kvadratai: 4, 0, 0, 4; jų suma 8.
3. Dispersija $s^2=8/4=2$.
4. Standartinis nuokrypis $s=\sqrt2\approx1{,}41$.

Atsakymas. Vidurkis 4, dispersija 2, standartinis nuokrypis apie 1,41.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Imties dydį laikyti vieninteliu reprezentatyvumo kriterijumi.
• Standartinį nuokrypį painioti su vidurkiu arba imties pločiu.
• 68–95–99,7 taisyklę taikyti labai asimetriškiems duomenims.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Įvardykite populiaciją tiriant visų mokyklos mokinių kelionės laiką.
2. Kodėl apklausti tik krepšinio būrelio nariai nėra gera visos mokyklos sporto pomėgių imtis?
3. Raskite duomenų 3, 5, 7 vidurkį.
4. Kurio rinkinio sklaida didesnė: 4,5,6 ar 0,5,10?
5. Ką reiškia standartinis nuokrypis 0?
6. Normaliojo modelio $\mu=100$, $\sigma=15$. Koks apytikslis 68 % intervalas?
7. Ar viena labai didelė išskirtis gali pakeisti vidurkį?
8. Kuri centro charakteristika atsparesnė išskirtims – vidurkis ar mediana?

Atsakymai savitikrai

1. Visi tos mokyklos mokiniai.
2. Atranka šališka sportuojančių mokinių naudai.
4. 0,5,10.
5. Visos reikšmės vienodos.
6. [85;115].
7. Taip, vidurkis jautrus išskirtims.
8. Mediana.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Imtis, sklaida ir normalusis skirstinys. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.