Algebrinių reiškinių pertvarkymai

Algebrinių reiškinių pertvarkymai

Panašiųjų narių jungimas

Panašieji nariai yra tokie, kurie turi vienodus kintamuosius tais pačiais laipsniais. Juos galima sudėti arba atimti.

Taisyklė: Jungiame koeficientus, kintamųjų dalį paliekame tą pačią.

Pavyzdys:

• 3x² + 5x² = 8x²
• 7ab - 2ab + ab = 6ab
• 4x²y - 3xy² + 2x²y = 6x²y - 3xy² (panašieji: 4x²y ir 2x²y)

Skliaustų skleidimas

Skliaustus skleidžiame naudodami paskirstomąjį dėsnį:

a(b + c) = ab + ac

Pavyzdžiai:

• 3(x + 4) = 3x + 12
• -2(x² - 3x + 1) = -2x² + 6x - 2
• x(x - 5) = x² - 5x

Kai du dvinariai, naudojame FOIL metodą:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Pavyzdys: (x + 3)(x - 2) = x² - 2x + 3x - 6 = x² + x - 6

Trumposios daugybos formulės

Šios formulės leidžia greitai atlikti daugybą ir skaidyti dauginamaisiais.

Pilnasis kvadratas (suma)

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Pavyzdys: (x + 5)² = x² + 10x + 25

Pilnasis kvadratas (skirtumas)

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Pavyzdys: (3x - 2)² = 9x² - 12x + 4

Kvadratų skirtumas

(a + b)(a - b) = a² - b²

Pavyzdys: (x + 7)(x - 7) = x² - 49

Sumos kubas

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Pavyzdys: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1

Skirtumo kubas

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Pavyzdys: (2x - 1)³ = 8x³ - 12x² + 6x - 1

Algebrinių reiškinių suprastinimas

Suprastinimas - tai reiškinio pertvarkymas į paprastesnę formą.

Žingsniai:

1. Skleidžiame skliaustus
2. Jungiame panašiuosius narius

Pavyzdys: Suprastinkite (x + 3)² - (x - 1)(x + 5)

Sprendimas:

• (x + 3)² = x² + 6x + 9
• (x - 1)(x + 5) = x² + 5x - x - 5 = x² + 4x - 5
• x² + 6x + 9 - (x² + 4x - 5) = x² + 6x + 9 - x² - 4x + 5 = 2x + 14

Dauginamųjų skaidymas

Bendras dauginamasis

Randame didžiausią bendrą dauginamąjį (DBD) visų narių ir iškeliame prieš skliaustus.

Pavyzdys: 6x³ - 9x² + 3x = 3x(2x² - 3x + 1)

Grupavimo metodas

Naudojamas kai reiškinyje yra 4 arba daugiau narių.

Pavyzdys: x³ + x² + x + 1

• = x²(x + 1) + 1(x + 1)
• = (x + 1)(x² + 1)

Kvadratų skirtumas (atvirkščiai)

a² - b² = (a + b)(a - b)

Pavyzdys: 9x² - 16 = (3x)² - 4² = (3x + 4)(3x - 4)

Pavyzdys: x⁴ - 1 = (x²)² - 1² = (x² + 1)(x² - 1) = (x² + 1)(x + 1)(x - 1)

Pilnasis kvadratas (atpažinimas)

Jei a² + 2ab + b², tai yra (a + b)².

Pavyzdys: x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)²

Algebrinių trupmenų suprastinimas

Algebrinę trupmeną suprastiname padalydami skaitiklį ir vardiklį iš jų bendro dauginamojo.

Pavyzdys 1:

$\frac{6x^2 - 12x}{3x} = \frac{6x(x-2)}{3x} = 2(x-2) = 2x - 4$

Pavyzdys 2:

$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$

Svarbu: trupmeną galima suprastinti tik tada, kai skaitiklyje ir vardiklyje yra bendras dauginamasis (ne narys!).

Dažna klaida: Negalima suprastinti: $\frac{x^2 + 4}{x + 4}$ — čia nėra bendro dauginamojo.

Savarankiško darbo užduotys

1. Suprastinkite: 5a³b - 10a²b² + 15ab³

2. Apskaičiuokite naudodami trumposios daugybos formulę: (2x + 3)²

3. Apskaičiuokite: (x - 4)(x + 4)

4. Skaidykite dauginamaisiais: x² - 8x + 16

5. Skaidykite dauginamaisiais: 2x³ - 8x

6. Suprastinkite trupmeną: $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$

7. Suprastinkite: (3x - 1)² - (3x + 1)(3x - 1)

8. Skaidykite dauginamaisiais grupuodami: x³ - 2x² + 3x - 6

9. Suprastinkite trupmeną: $\frac{2x^2 + 4x}{x^2 - x - 6}$

10. Įrodykite, kad (a + b)² - (a - b)² = 4ab