Lygčių sprendimas

Lygčių sprendimas

Tiesinės lygtys (kartojimas)

Tiesinė lygtis: ax + b = 0, kur a ≠ 0.

Sprendimas: x = -b/a

Pavyzdys: 3x - 7 = 2x + 5

• 3x - 2x = 5 + 7
• x = 12

Su trupmenomis: $\frac{x-1}{2} + \frac{x+3}{4} = 2$

• Dauginame iš 4 (bendras vardiklis): 2(x-1) + (x+3) = 8
• 2x - 2 + x + 3 = 8
• 3x + 1 = 8
• x = 7/3

Kvadratinės lygtys

Diskriminanto metodas

Lygtis: ax² + bx + c = 0

Diskriminantas: D = b² - 4ac

• Jei D > 0: dvi šaknys $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
• Jei D = 0: viena šaknis $x = \frac{-b}{2a}$
• Jei D < 0: realių šaknų nėra

Pavyzdys: 2x² - 5x + 3 = 0

• D = (-5)² - 4·2·3 = 25 - 24 = 1
• x₁ = (5 + 1)/4 = 3/2, x₂ = (5 - 1)/4 = 1

Vijeto teorema

Jei x₁ ir x₂ yra lygties ax² + bx + c = 0 šaknys, tai:

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ · x₂ = c/a

Pavyzdys: Lygtis x² - 5x + 6 = 0. Vijeto: x₁ + x₂ = 5, x₁·x₂ = 6. Šaknys: 2 ir 3.

Lygtys su moduliu

|x| = a (kai a ≥ 0): x = a arba x = -a

|x - a| = b (kai b ≥ 0): x - a = b arba x - a = -b, taigi x = a + b arba x = a - b

Pavyzdys: |2x - 3| = 7

• 2x - 3 = 7 → x = 5
• 2x - 3 = -7 → x = -2

Patikra: |2·5 - 3| = |7| = 7 ✓ ir |2·(-2) - 3| = |-7| = 7 ✓

Sudėtingesnis pavyzdys: |x + 1| = |x - 3|

Metodas: Kvadratavimas arba atvejų nagrinėjimas.

Kai x + 1 = x - 3: 1 = -3 (prieštaravimas, sprendinių nėra) Kai x + 1 = -(x - 3): x + 1 = -x + 3 → 2x = 2 → x = 1

Iracionalios lygtys

Lygtis, kurioje kintamasis yra po šaknies ženklu.

Metodas: Pakelti abi puses kvadratu, bet būtina patikrinti sprendinius!

Pavyzdys: √(2x + 3) = x

Sąlygos: 2x + 3 ≥ 0 ir x ≥ 0, taigi x ≥ 0.

Keliame kvadratu: 2x + 3 = x² → x² - 2x - 3 = 0

D = 4 + 12 = 16; x₁ = (2+4)/2 = 3, x₂ = (2-4)/2 = -1

Tikriname: x₁ = 3: √(9) = 3 ✓; x₂ = -1: neatitinka sąlygos x ≥ 0.

Atsakymas: x = 3

Eksponentinės lygtys

Lygtis, kurioje kintamasis yra laipsnio rodiklyje.

Paprasta forma: aˣ = b

Jei b > 0: x = log_a(b)

Pavyzdys: 2ˣ = 32 = 2⁵ → x = 5

Kai pagrindas yra tas pats:

aˢ = aᵗ ↔ s = t

Pavyzdys: 3^(2x-1) = 27 = 3³ → 2x - 1 = 3 → x = 2

Pakeitus kintamąjį:

Pavyzdys: 4ˣ - 5·2ˣ + 4 = 0

Tegul t = 2ˣ (t > 0). Tada (2ˣ)² = 4ˣ = t².

t² - 5t + 4 = 0 → (t-1)(t-4) = 0 → t = 1 arba t = 4

2ˣ = 1 → x = 0; 2ˣ = 4 = 2² → x = 2

Logaritminės lygtys

Paprasta forma: log_a(x) = b ↔ x = aᵇ

Pavyzdys: log₂(x) = 5 → x = 2⁵ = 32

Su vieno logaritmo lygybe:

Pavyzdys: log₃(2x - 1) = 2

• 2x - 1 = 3² = 9
• 2x = 10
• x = 5

Tikriname: 2·5 - 1 = 9 > 0 ✓

Kelių logaritmų lygtys:

Naudojame logaritmų savybes: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)

Pavyzdys: log₂(x) + log₂(x+6) = 4

• log₂(x(x+6)) = 4
• x(x+6) = 2⁴ = 16
• x² + 6x - 16 = 0
• D = 36 + 64 = 100; x = (-6 ± 10)/2; x₁ = 2, x₂ = -8

Tikriname sritis: x > 0 ir x+6 > 0. x = 2 tinka, x = -8 netinka.

Lygčių sistemos

Pakeitimo metodas

Pavyzdys:

• 2x + y = 7 ... (1)
• x - y = 2 ... (2)

Iš (2): x = y + 2. Statome į (1): 2(y+2) + y = 7 → 3y = 3 → y = 1.

Tada x = 1 + 2 = 3. Atsakymas: x = 3, y = 1

Sudėties (eliminacijos) metodas

Pavyzdys:

• 3x + 2y = 12 ... (1)
• x - 2y = 4 ... (2)

Sudedam: 4x = 16 → x = 4. Iš (2): 4 - 2y = 4 → y = 0

Netiesinės sistemos

Pavyzdys:

• x² + y² = 25
• x + y = 7

Iš antros: y = 7 - x. Statome: x² + (7-x)² = 25 → 2x² - 14x + 49 = 25 → 2x² - 14x + 24 = 0 → x² - 7x + 12 = 0

(x-3)(x-4) = 0; x = 3 arba x = 4.

Kai x = 3: y = 4. Kai x = 4: y = 3. Atsakymai: (3; 4) ir (4; 3)

Savarankiško darbo užduotys

1. Išspręskite: $\frac{2x+1}{3} - \frac{x-2}{6} = 1$

2. Išspręskite kvadratinę lygtį: 3x² + 4x - 4 = 0

3. Taikydami Vijeto teoremą, nustatykite, ar skaičiai -2 ir 5 yra lygties x² - 3x - 10 = 0 šaknys.

4. Išspręskite: |3x + 2| = 10

5. Išspręskite: √(x + 5) = x - 1

6. Išspręskite eksponentinę lygtį: 9ˣ - 4·3ˣ + 3 = 0

7. Išspręskite: log₅(x + 4) = 2

8. Išspręskite sistemą pakeitimo metodu:

   • y = 2x - 3
   • 3x + y = 12

9. Išspręskite sistemą sudėties metodu:

   • 5x - 3y = 1
   • 2x + 3y = 20

10. Išspręskite sistemą:

    • x² + y = 5
    • x + y = 3