Rodiklinės, logaritminės ir modulio lygtys bei nelygybės

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

paaiškinti temą „Rodiklinės, logaritminės ir modulio lygtys bei nelygybės“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Rodiklinėse lygtyse vienodinami pagrindai arba atliekamas keitimas $t=a^x>0$ . Jei lygtyje yra $a^x$ ir $a^{-x}$ , naudinga dauginti iš $a^x$ ir gauti kvadratinę lygtį kintamajam $t$ . Neigiami $t$ kandidatai neturi atitikmens.

Logaritminėse lygtyse apibrėžimo sąlygos rašomos kiekvienam argumentui. Pagrindo keitimas, logaritmų taisyklės ir monotoniškumas leidžia pertvarkyti, tačiau sudėties logaritmas nėra logaritmų suma. Nelygybės atsakymas kertamas su visomis srities sąlygomis.

Modulio lygtis galima spręsti atvejų metodu arba grafikais. Parametrų uždaviniuose sprendinių skaičius nustatomas pagal horizontalių tiesių sankirtas su $y=|f(x)|$ . Atskirai nagrinėjamos ribinės parametro reikšmės.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

t=a^x>0

\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)

|u|=r\Rightarrow u=\pm r,\ r\ge0

|u|<r\Rightarrow-r<u<r

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Išspręskite $2^x+2^{-x}=5/2$ .

Pažymime $t=2^x$ , todėl $t>0$ ir $2^{-x}=1/t$ .
$t+1/t=5/2$ . Padauginę iš $2t$ gauname $2t^2-5t+2=0$ .
Šaknys $t=2$ ir $t=1/2$ .
$2^x=2$ duoda $x=1$ , o $2^x=1/2$ – $x=-1$ .

Atsakymas. $x=-1$ arba $x=1$ .

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

Keitiniui $t=a^x$ palikti sprendinį $t\le0$ .
Logaritmų sumos taisyklę taikyti argumentų sumai.
Modulio lygties dešiniajai pusei esant neigiamai ieškoti realiųjų sprendinių.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

Išspręskite $4^x-5\cdot2^x+4=0$ .
Išspręskite $3^x+3^{x+1}=108$ .
Išspręskite $\log_2x+\log_2(x-2)=3$ .
Išspręskite $\ln(x+1)>0$ .
Išspręskite $|3x-2|=7$ .
Išspręskite $|x+1|\le4$ .
Kiek sprendinių turi $|x^2-1|=0$ ?
Kokioms $a$ reikšmėms $|x|=a$ turi du sprendinius?

Atsakymai savitikrai

$x=0$ arba $x=2$ .
$x=3$ .
$x=4$ .
$x>0$ .
$x=3$ arba $x=-5/3$ .
$x\in[-5;3]$ .
Du: $x=-1$ ir $x=1$ .
$a>0$ .

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Rodiklinės, logaritminės ir modulio lygtys bei nelygybės. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.