Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys bei sistemos

Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys bei sistemos

Mokymosi tikslai

Baigę šią pamoką gebėsite:

• paaiškinti temą „Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys bei sistemos“ vartojant taisyklingas matematines sąvokas;
• pasirinkti tinkamą formulę ar sprendimo metodą ir pagrįsti jo sąlygas;
• išspręsti uždavinį nuosekliai, patikrinti rezultatą ir interpretuoti jį kontekste;

Prisimink

Matematinis sprendimas yra ne vien galutinis skaičius. Pirmiausia įvardykite duomenis ir ieškomą dydį, patikrinkite apibrėžimo sąlygas, pasirinkite metodą, o pabaigoje įstatykite atsakymą į pradinę sąlygą. Jei uždavinys turi matavimo vienetus ar prasminį intervalą, jie yra sprendimo dalis.

Sąvokos

• Matematinis modelis – formulė, lygtis, grafikas ar kita struktūra, kuria aprašoma nagrinėjama situacija.
• Apibrėžimo sąlyga – apribojimas, nusakantis, kurioms kintamojo reikšmėms reiškinys ir atlikti veiksmai turi prasmę.
• Ekvivalentus pertvarkymas – veiksmas, nepakeičiantis sprendinių aibės; jei veiksmas gali pridėti ar pašalinti sprendinių, būtina atskira patikra.
• Interpretacija – matematinio rezultato paaiškinimas pradinio uždavinio kalba, išlaikant vienetus ir tikslumą.

Teorija

Racionaliosios lygties sprendimą pradedame nuo apibrėžimo srities ir bendrojo vardiklio. Po daugybos gaunama polinominė lygtis, tačiau jos sprendiniai, panaikinantys pradinį vardiklį, atmetami. Kartais patogus keitimas į simetrišką reiškinį.

Iracionaliosiose lygtyse izoliuojama viena šaknis ir tik tada keliama atitinkamu laipsniu. Kėlimas lyginiu laipsniu yra tik viena kryptimi ekvivalentiškas veiksmas, todėl patikra pradinėje lygtyje yra privaloma.

Sistemoje galima taikyti pakeitimą arba geometrinę interpretaciją. Šaknų skaičius dažnai įvertinamas pagal funkcijų monotoniškumą ar grafikų sankirtas, o tikslūs sprendiniai randami algebra.

Sprendimo kokybę verta įvertinti dviem nepriklausomais būdais. Algebrinį rezultatą galima patikrinti įstatant jį į pradinę sąlygą, o grafinį ar skaitinį – palyginant su keliomis kontrolinėmis reikšmėmis. Toks patikrinimas padeda pastebėti neteisingą ženklą, pamestą sprendinį, netinkamą intervalo galą ar per anksti suapvalintą reikšmę. Jei skirtingi būdai nesutampa, galutinis atsakymas dar nėra pagrįstas.

Tą patį matematinį ryšį dažnai galima pateikti formule, lentele, grafiku ir žodiniu paaiškinimu. Perėjimas tarp šių vaizdavimo būdų padeda suprasti, ką reiškia parametrai ir kaip kinta rezultatas. Braižant eskizą pažymimi atraminiai taškai, ribos, ženklai ir ypatingos reikšmės; sudarant lentelę pasirenkamos reikšmės abipus svarbių taškų. Sprendime verta trumpai parašyti ne tik ką skaičiuojame, bet ir kodėl pasirinktas veiksmas yra leistinas. Taip atsakymas tampa atkuriamas ir patikrinamas net be skaičiuotuvo.

Pagrindinės formulės

Formulėje esantys simboliai turi būti siejami su konkrečiais uždavinio dydžiais. Prieš skaičiuodami patikrinkite, ar visi dydžiai išreikšti suderintais vienetais ir ar tenkinamos formulės taikymo sąlygos.

Nuosekliai išspręstas pavyzdys

Uždavinys. Išspręskite $\sqrt{x+6}+\sqrt{x-3}=3$.

1. Sritis: $x\ge3$.
2. Kai $x=3$, kairė pusė $3+0=3$, tad $x=3$ tinka.
3. Abi šaknys didėja, todėl kairė pusė griežtai didėja visoje srityje.
4. Vadinasi, daugiau sprendinių nėra.

Atsakymas. $x=3$.

Sprendimo patikrai grįžkite į pradinę sąlygą: įvertinkite ženklą, dydžio eilę, vienetus ir tai, ar atsakymas priklauso leistinai sričiai. Apytikslę reikšmę apvalinkite tik paskutiniame žingsnyje, jei sąlyga nenurodo kitaip.

Dažnos klaidos

• Bendrąjį vardiklį sutrumpinti su sudėties nariu.
• Vienu metu kvadratu kelti neišskyrus šaknies ir prarasti kontrolę ties kryžminiu nariu.
• Monotoniškumo argumentą taikyti funkcijai, kurios sritis nėra vientisas intervalas.

Savarankiška praktika

Spręskite užrašydami tarpinius veiksmus. Atsakymus atsiverskite tik užbaigę pasirinktą užduotį.

1. Išspręskite $2/(x-1)=x/(x-1)$.
2. Išspręskite $1/x+1/(x+1)=3/2$.
3. Išspręskite $\sqrt{x+1}=x-1$.
4. Išspręskite $\sqrt{x}+\sqrt{x}=6$.
5. Kokia $\sqrt{x-2}/(x-5)$ sritis?
6. Ar kėlimas kvadratu išlaiko lygties sprendinių aibę?
7. Raskite sistemos $y=\sqrt{x}$, $y=x-2$ sprendinį.
8. Paaiškinkite, kodėl $\sqrt{x}=-2$ sprendinių neturi.

Santrauka

Šioje pamokoje išnagrinėjote temą Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys bei sistemos. Patikimas darbo algoritmas yra toks: nustatyti sąlygas, pasirinkti modelį, atlikti veiksmus be ankstyvo apvalinimo, patikrinti sprendinį ir tik tada pateikti kontekstinį atsakymą. Jei atsakymas nesuderinamas su pradine sąlyga, reikia taisyti ne galutinį skaičių, o rasti pirmą nepagrįstą sprendimo žingsnį.